Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Так как г = ех, то -= е, и соотношение (2.58) можно иредста-

Эд:,-

вить в виде

(2.59)

eipi = 0.

Используя известную формулу векторного исчисления

А ёг ёз а X & = Oi Oi Оз , Ъ, bj ь,

где flj, &j - проекции векторов а и & иа координатные оси, получим из равенства (2.59)

е,- X р,. =

Рп Рп

62 О

ез 1

откуда

= А(рл - Рзг) + ё2(рз1 - Р1з) + ёз(р12 - Рн) = О,

Ри = P2U Р31 = Р13- Р23 = Р32 или

(2.60)

Соотношения (2.60) представляют собой закон парности или взаимности касательных папряжепий. Из этого закона следует, что тензор папряжепий (1.33) является симметричным. Последнее означает, что тензор папряжепий (1.33) содержит только шесть различных компонеит. В соответствии с этим уменьшается число неизвестных в уравнениях движения (2.43).

§6. Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии, как было показано выше, имеет вид (2.13). Для преобразования этого соотношения положим в равенстве (2.23)

(р = р

,2 Л

+ - 2

и получим d

dV = I

dV =

(2.61)

dp dt

/7 div и

С учетом уравнения иеразрывиости (2.25) соотиошеиие (2.61) приведем к виду

d dt

dV= jp

(2.62)

Из формулы (2.37) и теоремы Гаусса-Остроградского (2.39) следует, что \p,v dS = \piva,i dS = dV. (2.63)

Подставив соотношения (2.62) и (2.63) в уравиеиие (2.13), получаем

- pFv-

dV = 0.

(2.64)

а так как это соотиошеиие справедливо для произвольного объема, то иодынтегральное выражение должно быть равным нулю.

.2 Л

= pFv

(2.65)

Соотиошеиие (2.65) иредставляет собой математическую формулировку закона сохранения энергии для термомехаиического континуума. Из этого уравиеиия видно, что скорость изменения полной энергии равна сумме мощностей всех внешних сил и количества тепла, подводимого в единицу времени. При этом необходимо иметь в виду, что в уравиеиие (2.65) входят удечь-ные по объему, то есть рассчитанные иа единицу объема величины.

Для того, чтобы получить закон сохранения энергии для трубки тока.

положим в соотношении (2.20) (р = р

,2 Л

и подставим иолучеииое

таким образом выражение в уравиеиие (2.13). Тогда

.2 \

dv + \р

.2 \

v.„dS = jpFvdV + jPnOdS + jpq, dV -(2.66)

V S V

Будем считать, что иаиряжеиие массовой силы обладает нотеициалом, то есть что F = УП . Тогда с учетом уравиеиия иеразрывиости (2.26) получим

pFv = pvVYl = diYpYlv - П diYpv = diYpYlv + П

a на основании теоремы Гаусса-Остроградского (2.21)

\pFddV = \[dhj рШ + U]dV = \UdV + \pUVndS. (2.67)

В качестве поверхности S возьмем замкнутую поверхность, состоящую из живых сечений трубки тока S[, Sj и ее боковой поверхности Sj (рис.2.4). В живом сечении V = -nv, в у = Яу, иа боковой поверхности Sj V = fiV, где fi - единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к трубке тока. Тогда с учетом соотношения (1.26) получим

jp.vdS = - J p,,vdS + J p,,vdS + J pJvdS. (2.68)

Подставив выражения (2.67) и (2.68) в уравиеиие (2.66) и повторяя рассуждения, приведенные при выводе соотношений (2.26) и (2.27), получим

Эр dt

dV \р

&2

,2 Л

dS- jp

vdS =

(2.69)

= \{Р + Pnn)vdS- \{Пр + p„„)odS+ \p„f,vdS+ \pqedV.

S2 Si S3 V

Соотношение (2.69) представляет собой выражение закона сохранения энергии для трубки тока при наличии потенциала иапряжеиия массовых сил. При установившемся движении оно принимает вид

,2 Л

,2 Л

pvdS - I и + - pvdS =

pvdS- I

(2.70)

pvdS+ jpfvdS + jpqdV.

Воспользовавшись теоремой о среднем значении в иитегральиом исчислении, имеем

.2 Л

pvdS =

pvdS =

jpvdS --jpv dS

a так как при установившемся движении вдоль трубки тока = const, то уравиеиие (2.70) можно представить в виде

,2ЛР

где индексы «1», «2» означают номера соответствующих сечений.

(2.71)