Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 [ 174 ] 175 176 177

Уравиеиия (П. 98) представляют собой систему уравиеиий изотермического движеиия вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической системе координат Oripz.

В сферической системе координат OrOip (рис. П.7) уравиеиие иеразрывиости в соответствии со вторым равенством (П.52) имеет вид

div V =

1 dv.

-cts.9 =

дг г дв rsind dq) г

Выполняя Преобразования, аналогичные приведенным для цилиндрической системы координат, получим

iv, Vn dv.

г дв г sine

= pF,--

Av, -

2 dv.

2v, 2v,

dtf r sini

>Vo Vn dVn

vl ct£

dr r de rsin 2 dv, 2cose dv,

= pFe---.

- oi) r Sin

b„ Vn dv,„

r sin tf

v.. v,v.

Av,.

cts&

У rsiny d,

2 COS в dVg R sin в dm

= PF.,-

r sin

R sin &

Ct£

Диффереицироваиие no времени интеграла, взятого но подвижному объему (второй способ доказательства)

В функцнн Ф, определенной равенством

Ф(х,,г)= \<p{x,,t)dV

произведем замену переменных. От переменных Эйлера х,?, перейдем к переменным Лагранжа X,t. Тогда, используя формулу замены переменных в тройном интеграле, получим следующее равенство

<p{xt)dV= Ux(x\t)jdV,

где J = dxJdXj - якобиан преобразования переменных (определитель матрицы Якоби из производных dxJdXj), - область интегрирования, которую после замены переменных переходит V{t) (напомним, что = F(?o)). Поскольку в переменных Лаграижа область интегрирования не зависит от времени (интегрирование ведется по материальному объему), то операции интегрирования и дифференцирования можно поменять местами и написать

Теперь вычислим материальную производную от якобиана dJ/dt. Согласно правилу дифференцирования определителей, материальная производная от определителя третьего порядка равна сумме трех определителей третьего порядка, у которых продифференцированы элементы первой, второй и третьей строки соответствеино, а две другие строки остаются без изменений.

Так как

d di

Эх,-

эх7" ЭЭ

то каждый из трех определителей, полученных после дифференцирования, может быть представлен в виде суммы трех определителей, в силу равеиства строк, равны нулю. В самом деле, рассмотрим для примера результат дифференцирования и одни нз трех определителей.

dJ d 1)(х1,Х2,Хз) d ~dt ~ di D(X,X2,X) ~ di

d dxi d dxi d dxi

dt dXi dt dX2 dt dX, Эхп Эхп Эхп

dXi Эхз ЭХ,

дХп дХо

дХп дХо

dXi ЭХ2 ЭХ3 d дх2 d дх2 d дх2

dt эх, dt ЭХ, dt ЭХ,

Эхз ЭХ,

Эхз Эхз ЭХп ЭХо

dXi ЭХ2 ЭХ3 d дх2 d дх2 d дх2

dt эх, dt ЭХ, dt ЭХ,

Эхз ЭХ,

Эхз Эхз ЭХп ЭХ,

Рассмотрим теперь первый определитель. Как следует из равенства (П. имеем

Эи, Эхо Эи, Эхо Эи, Эхз

Эхо ЭХ, Эхо ЭХп Эхо ЭХо

ЭХ Эхз ЭХ,

ЭХп ЭХо

ЭХч ЭХо

Эх, Эх,

ЭХ, ЭХп ЭХо

ЭХч Эх;

эх, ЭХп ЭХо

Эхо Эхо

ЭХ] ЭХ2 ЭХ3

Аиалогичио расписываются и два других определителя. В результате имеем

= JaivJ

и интеграл можно переписать в виде

(p(x.,t)jdV = или, возвращаясь к эйлеровым переменным, получим

d(p[Xj, t

Xj,t)di

(x,t)jdVQ

d(p[Xj, t dt

[Xj, t)divv

JdVn

Так как полная производная равна сумме локальной и конвективной производных

d Э Э

- = - + Vi -, dt dt dXi

то выражение в квадратных скобках можно преобразовать

d(p{xj,t

[Xj, t)divv

dV =

dmXj,tj I .

-- + div (p[Xj, t p