|
|
|
|
Главная Переработка нефти и газа Символический оператор «иабла», или оператор Гамильтона, определяется как V = e. Эх,, с помощью оператора Гамильтона выражения (П.6), (П.7), (П.8) можно представить в виде grad (р-Ч(р, div а = V а, rot а = V X а. В соответствии с определением оператора Гамильтона Ъ(р dtp dtp Эх,, дх; дх; дх,. yd4j дх,. yd4j = Д(Р, (П.10) (П.11) (П. 12) где - единичный вектор оси (направления) s, то с учетом равенства (ПЛ) из формулы (П.З) имеем где Д - оператор Лапласа, д = Так как Эх, Эх, Эх, е. cosis, X. I = = V ip= IV 1 cos(V ip, s (П13) Из формулы (П. 13) видно, что - достигает наибольшего значения, когда s° \ I Vp, и это наибольшее значение равно
Поэтому, в соответствии с формулой (П.13), можно дать следующее определение: градиентом ip называется вектор, имеющий направление быстрейшего увеличения функции и по величине равный производной по этому направлению. Рассмотрим поверхность (х;, Xj, Хз) = const, (П. 14) или поверхность уровня функции 1р(х,х2,х-,). Вдоль всякого направления, лежащего в касательной плоскости к поверхности уровня (П.14), имеем - = О. Из этого, в соответствии с формулой (П.13), следует, что век-ds тор Vp направлен по нормали п к этой поверхности в ту сторону, куда возрастает. Тогда Я (р = п Так как Эх,. dx,. а ириращеиие радиус-вектора dr = edx, то в соответствии с формулой (П.1) dip = dr-Vip. (П.15) Умножив вектор Ь = еЬ иа оператор Гамильтона, получим новый оператор Так как в соответствии с формулой (П. 12) si =cos(x,s), то производную вектора но иаиравлеиию, то есть равенство (П.4), можно представить в виде = {s°V)d. Теорема Гаусса-Остроградского Рассмотрим некоторый объем F, ограниченный замкнутой иоверхио-стью 5, и пусть Р = P(xi,х2,Хз), Q = ((xpXjjXj), J? = J?(xi,х,х). В соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского ЭР ЭС ЭТ? Эх; Эхз Эхз J dXidx-idx = Р dxjdxj + Q dxjdxi + R dxidxj. (П.16) Так как dx-dx-j = cos(n, x)dS, dx-dx = cos(n, x-JdS, dxdx = coa{n, x)dS, TO формулу Гаусса-Остроградского (П. 16) можно представить в виде ЭР dQ dR dV = ydXi Эхз Эхз у Полагая Р = а, Q = а, R = а, получим •да [Рсоз(Й, Xj) + Qcos{n, Xj) + Rcos{n, x)\dS. (П. 17) -dV = a. соз(Й, x.ldS, или, С учетом формул (П.1), (П.7) и (П.12), div а dV = V -ddV = d п ds = adS. (П18) где n - единичный вектор внешней нормали к иоверхиости 5. ПРИЛОЖЕНИЕ Интеграл а п dS = называется потоком вектора а через поверхность 5. Из равенства (П.17) следует, что -dV = соз(Й, xjdS, н в соответствии с формулами (П.6) и (П.12) VipdV = (pfidS 513 (П. 19) (П. 20) (П.21) При q) = const на осиоваиии этого равенства имеем (pndS = (р ndS=0 Очевидно, что соотиошеиие (П.20) справедливо и для вектора, то есть дх,. -dV = а соз(Й, x.jdS. (П. 22) В соответствии с определением (П.9) оператора Гамильтона где Ь = ёф. Тогда, с учетом равенств (П.1) и (П.12) из формулы (П.22) получим Эх,, -dV = соз(Я, x.jdS = a[b-njdS. (П.23) Перейдем к рассмотрению вектора вихря. Из соотиошеиия (П.8) име- rot, а = )а, дa Эхз Эхз и на осиоваиии равенств (П.2) и (П.20) rot; а dV = Следовательно, [а, cos{n, Xj) - cos{n, x,)]dS = (пх а); dS . (П.24) rotadV = (Vxa)dy = (пxdjdS. (П25) Для оператора Лапласа в соответствии с формулой (П. 10) имеем Aq)dV = V-VipdV = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 [ 166 ] 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 |
||||||||||||
 |
 |
