Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

§7. Уравнение Гельмгольца

Уравнение движения идеальной жидкости в форме Громеко-Ламба (7.13) в иредиоложеиии, что иаиряжеиие массовых сил обладает нотеициалом, а процесс баротроииый, имеет вид

f 2Л

- П + Р + - 2

где vn = F ,-d Р - функция давления: Р =

-2ухй=0, (7.82)

причем равенства (7.78) и (7.79) справедливы для любого контура С, который может быть иеирерывиым образом стянут в точку, и любой иоверхиости S, натянутой иа этот контур.

Пусть в начальный момент времени t = О во всей области, занятой жидкостью, иет вихрей -3 = 0. Тогда в соответствии с равенством (7.79)

{rot v\dS = О,

а так как поверхность S произвольная, то во всей области, занятой жидкостью

(roty)„=0. (7.80)

Произвольность выбора иоверхиости S означает также произвольность выбора иаиравлеиия нормали Я. Поэтому из формулы (7.80) получаем

roty = 2(S = 0. (7.81)

Из равеиства (7.81) следует теорема Лаграижа: если жидкость идеальная, процесс баротроииый, иаиряжеиие массовых сил обладает нотеициалом и в некоторый момент времени вихрь скорости во всей области течения бьш равен нулю, то движение останется безвихревым и в любой последующий момент времени.

Условие (7.81) является условием иотеициальиости течения (гл. III, §5). Поэтому в жидкости, отвечающей условиям теоремы Томсоиа, нотеи-циальиое движение остается таковым всегда, если оно было нотеициаль-иым в какой-либо момент времени. Совершенно аналогичным образом можно показать, что если движение бьшо вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.

Из теоремы Лаграижа следует, что движение, возникшее иеирерывиым образом из состояния покоя, будет иотеициальиым. Подчеркнем еще раз, что этот вывод справедлив лишь при выиолиеиии условий теоремы Томсоиа. В частности, это справедливо для однородной идеальной несжимаемой жидкости в иоле сил тяжести. В вязкой жидкости, а также при нарушении баротрониости, вихри могут возникать и исчезать.

Применяя к уравнению (7.82) операцию rot и имея в виду, что го t(V) = О, rot у = 2(5, получаем

roiyaxv) = 0.

Проектируя равенство (7.83) иа ось Ох, имеем

(7.83)

Эа\ Э dt Эх.

[axv]. =

dt Эх-

Э{о,

Э<п Эу, Эш

V. -- - со. -- - V-

Эх.

- CO., -- - V, *

Эд:.

Эи-,

Эсл Эу, Эу,

-- + со, -- - со,

Эх-,

Эй),

Эсо,

Эх, Эх, Эх, Эх,

Эсо, Эсо, Э Эх,

Эсо,

Эх.,

Эсо,

dv, dVj Эи

Эсо, Эсй Эй), Эд Эд:2 Эх,

Эи Эи

со, -- - COj-- - COj

Эх, Эх2 dv.

Эх-,

dco, dt

со, div V -V, div а - aNv, = О.

Легко проверить прямой подстановкой, что div (5 = 0. Кроме того, из

уравнения неразрывности (7.1) следует, что div у = -

1 dp р dt

Поэтому урав-

иеиие (7.84) можно представить в виде

dco, со, dp dt р dt

1 dco, со, dp

= aNv,,

p dt p dt p

откуда

CO P

(7.85)

Соотношение (7.85) представляет собой уравиеиие Гельмгольца в проекции иа ось Ох-,. Очевидно, что в векторной форме оно имеет вид

V

Уравнение Гельмгольца (7.85) или (7.86) позволяет иайти изменение ноля вихрей во времени.

Заметим, что уравиеиия (7.83) и (7.86) представляют собой чисто кинематические соотношения. Для уравиеиия (7.83) это очевидно. Уравиеиие же (7.86) является прямым следствием уравиеиия (7.84), которое, с учетом равеиства div ю = О, в векторной форме ирииимает вид da)

(Sdivy = [а) V]v.

Возьмем в жидкости какую-либо вихревую линию. Рассмотрим ее элемент ds = £- (но оиределеиию вихревой линии, ds\\3), где £ - малая Р

константа. Концы вектора ds обозначим через А и В (рис. 7.5). Частицы жидкости (материальные точки), образовавшие в момент t элемент ds, образуют в момент t + dt элемент ds. Очевидно, что

ds = ds + vdt - vdt. (7.87)

Заметим, что формула (7.87) но своему смыслу совпадает с равенством (7.71).

В соответствии с формулой (3.3) и оиределеиием вектора ds

( ~

- = ((/S V)y = £-V

и формула (7.87) ирииимает вид ds = £

V

Рассмотрим теперь вектор вихря ds = £ -. В момент времени t + t

ои равен

ds , а - dt = £ - dt

d Гй

ds" = £- = ds

p dt p dtyp

Так как в формуле (7.89) берется полная ироизводиая, то второй член в этой формуле (с точностью до членов более высокого порядка малости)

иредставляет собой приращение жидкого вихревого элемента (/s = б" - за

время dt.

Воспользовавшись уравнением Гельмгольца (7.86), формулу (7.89) можно представить в виде

ds" = £

V

V dt

(7.90)