Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [ 169 ] 170 171 172 173 174 175 176 177

Подставив в формулу (П.50) выражения (П.41) для Vp и (П.44) для div d, получим

-1-2-3

V -2

i2 J

(П.51)

Векторные онерацнн в цилиндрической и сферической системах координат

В цилиндрической системе координат (рнс. П.6) положение точки оиределяется координатами = г, = (р, = z. При этом 0<г<о=, О <(р<2л, -о= < z< о=. Формулы (П.ЗЗ) имеют вид

= г cos (р, Х2 = г sin , х3 = z .

Очевидно, что

dsj = dr, dsj = rd(p, ds = dz, и из формул (П.37) имеем

Hi = 1, Н2 = г, Нз = 1. Обозначив координатные орты через ё,ё,,ё, а координаты вектора d через а, а, а, из равенств (П.41), (П.44), (П.49), (П.51) получим

divd =

rota =

а, + -. г

(П52)

1 э f Э№- 1 эу

г Эг I, Эг ,J г ду) dz

В сферической системе координат (рис. П.7) ноложенне точки оиределяется координатами q = г, q = в, q = у). Область изменения координат -

0<г<о=, ()<в <л, О < у)<2ж. Формулы (П.ЗЗ) имеют вид

= г sin в COS д),

Х2 = rsinsin , Хо = rcos.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рис. П6

Рис. П7

Так как

= dr, ds = г de, ds = г sin в dcp,

=\, H2 = г, = г sin в.

Тогда из формул (П.41), (П.44), (П.49), (П.51) имеем

Vy/ = е

divd

ду/ дг

1 Э(гЧ)

1 ду/

1 ду/

г дв

Г sin дер 3(asin) 1

rota

г sine дер

Э f 2 . п¥ Эг I Эг

Э +

sin в

Э +

(П.53)

1 ду/

дер Isin6 дер

Производные единичных векторов

Для вычисления производных единичных векторов рассмотрим век-

Э¥ ЭдЭд

. Из формул (П.36) следует, что

dqfdq dqdq dq,

Я, = ё; + Я, . (П.54)

Эд Эд

Очевидно, что годографом для вектора служит координатная лн-

ния qi, н в соответствнн с онределеннем производной вектора по направлению (П.З)

Ъё-,

Аналогичным образом имеем

Подставив этн соотношения в формулу (П.54), получим

ё\ - + H-jZyBy = ёу + HyCjej,

откуда

Следовательно,

М.С-, --. М-,С, --

Эё,* 1 эн, . Эё; 1 эн, .

Эд Ну дцу дцу Hj Эд

Прн циклической перестановке индексов имеем

(П.55)

1 ЭН, . Эё; 1 эн, ,

-е,. -- =---е-

)ё; 1 ЭН, . Эё; i эн.

(П56)

Эд; Нз Эдз Эдз Ну dqy

Так как ё; = ё; х ёз*, то с учетом формул (П.55) н (П.56) получим

н аналогично

1 эн ,

----е-.

Нз Эдз

1 ЭН, .

Ну dqy 1 ЭНз

. эн, „ эё; . эн, „ эё