Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

" = pFv + Vk = pFv - vVp + jUvAv . (4.43) Эд:.-

Так как уравиеиия Навье-Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, представляют собой уравиеиия второго порядка, то к граничным условиям (4.19) или (4.20) необходимо добавить еще одно условие. В качестве такового принимается гипотеза ирилииаиия, которая заключается в том, что иа твердой стенке полагается выиолиеииым условие

Vr = V,, (4.44)

где и, - касательные составляющие скорости жидкости и стеики. Следовательно, граничные условия для уравнений Навье-Стокса имеют

•" Vn = Vn, V, = V, (4.45)

или, если стенка иенодвижиа,

и„ = и. = 0. (4.46)

Различие граничных условий (4.19) и (4.45) для идеальной и вязкой жидкостей приводит к весьма важным последствиям. Действительно, при вязкости, стремящейся к нулю, уравиеиия Навье-Стокса в пределе переходят в уравиеиия Эйлера. Однако решения уравнений Навье-Стокса при = О, = О ие переходят в решения уравнений Эйлера, так как они иолучеиы при разных граничных условиях, а граничные условия (4.45) от вязкости ие зависят.

Более подробный анализ указанных обстоятельств показывает, что вязкость существенно влияет иа характер течения лишь в достаточно тонком слое жидкости, прилегающем к твердой иоверхиости. Этот слой получил название иограиичиого слоя. Вне пограничного слоя вязкостью можно пренебречь и рассматривать жидкость как идеальную.

Данные выше факты привели к созданию целого раздела гидромеханики - теории иограиичиого слоя.

в случае неоднородной несжимаемой жидкости к уравнениям (4.42) добавляется первое из уравнений (4.41).

Эта система из четырех уравнений содержит четыре неизвестных и является замкнутой . Таким образом, задача об изотермическом течении несжимаемой жидкости, также как и задача о течении идеальной несжимаемой жидкости, является чисто механической.

Для теоремы об изменении кинетической энергии при изотермическом движении вязкой несжимаемой жидкости из формул (2.74), (2.80) и (4.38) имеем

div V

divu - 2ц£ц£ц = pdivv - Ж,(4.47)

--М {divvf -2£ij£ij 3 J

- мощность (удельная по объему) виутреииих сил, обусловленных вязкостью, или мощность диссипативиых сил. Используя преобразование

4 (4+4+4)--«(divu)

= 2/7

- divu

£-,-,- d\MV

-div у

£л"1 ~1~ £"it ~1~ £"1

перепишем равенство (4.48) в виде

Ж= (div5)42

£"ii--divy 3

1- -£"„--aivu

1 л- -

£пп - - divУ

(4.49)

Так как > О, > О, то из формул (4.47) и (4.49) следует, что W> О и работа диссииативиых сил всегда отрицательна. Если жидкость движется как твердое тело, то есть = О, то = 0.

Подставив в общее уравиеиие притока тепла (2.88) соотношение (4.47), получим уравиеиие притока тепла для вязкой сжимаемой жидкости в виде

du р ,.

- = q,-diYV dt р

(4.50)

Из закона об изменении кинетической энергии (2.14) и формулы (4.47) следует, что нри отсутствии внешних сил

= jpdV = \pN>dV = \(pdiYv-W)dV, (4.51)

§6. Работа внутренних сил. Уравнение притока тепла

Как было показано в §2.7, в уравиеиие для изменения кинетической энергии (2.74) входит удельная по массе мощность виутреииих сил для которой была иолучеиа формула (2.80), сираведливая для любой сплошной среды. Подставив в нее выражение (4.37), для сжимаемой вязкой жидкости получим

2

=0, Ж = О,

Следовательно, работа виутреииих сил, в том числе диссииативиых, равна нулю. Виутреиияя энергия может изменяться только за счет подвода тепла.

2. Жидкость идеальная, сжимаемая. В соответствии с формулами (4.47), (4.48) и (4.50) имеем

ЛГ(0 =£divi;, Ж = 0, - = 5,-divu. р dt р

Из уравиеиия иеразрывиости следует, что - = -pdiv v . Тогда

дг(0 Р = а

р dt dt р dt

При расширении - < О и > 0. При сжатии - > О и < 0. dt dt

Если процесс адиабатический, то есть протекает без подвода тепла, то = О.

тт du

При сжатии - > О и происходит нагрев жидкости, при расширении - ох-dt

лаждеиие.

то есть кинетическая энергия в этом случае изменяется только за счет работы виутреииих сил.

Для вязкой несжимаемой жидкости формула (4.51) иа основании равеиства (4.49) принимает вид

= -\WdV = -\2£,j£,jdV. at у у

Так как W"> О, то за счет работы виутреииих сил кинетическая энергия убывает. Предельное значение W=() осуществляется при £"jft = О. Следовательно, при отсутствии внешних сил предельным движением вязкой ие-

сжимаемой жидкости будет движение твердого тела, при котором-= и.

Рассмотрим некоторые частные виды уравиеиия притока тепла и работы диссииативиых сил.

1. Жидкость идеальная и несжимаемая, то есть = О, = О, div 5 = 0. Из формул (4.47), (4.48) и (4.50) имеем