Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ЭТОЙ цели коэффициентов иорнстости и ироиицаемости явно недостаточно.

Вместе с тем, широкий диапазон изменения значений Rep можно

разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это означает указание возможной верхней Границы справедливости закона Дарен прн движеини флюида в какой-либо пористой среде.

Результаты такого разбиения для формулы В.Н.Щелкачева (см. табл. 18.1, первая строка, пятая графа) приведены в табл. 18.2.

Таблица 18.2. Интервалы критических значений Re для образцов по-

§6. Нелинейные законы фильтрации

Как бьшо показано в предыдущем параграфе, основное уравнение теории фильтрации, закон Дарен, имеет верхнюю и нижнюю границы применимости, поэтому необходимо его обобщение. Первое обобщение закона Дарен при Re > Rep бьшо предложено Дюпюн, который сформулировал

двухчленный закон, получивший имя австрийского ученого Ф.Форхгейме-ра, независимо иредложившего этот закон несколько иозднее. Двучленный закон, разрешенный относительно градиента давления, в векторной форме записывается в виде

grad р = - - W- В

к Jh

(18.22)

- модуль вектора скорости фильтрации, /? - константа пористой среды, определяемая эксперимеитальио, р - плотность флюида. Для одномерного течения, когда модуль градиента давления ие изменяется вдоль потока (см. §4, формула (18.15)), уравнение можно спроектировать на координатную ось и записать в скалярном виде

Ар L

(18.23)

Из последнего равенства становится понятно, почему обычно соотношение (18.23) трактуется как разложение в ряд Тейлора закона фильтрации ио степеням вектора скорости фильтрации.

Необходимо отметить, что представление нелинейного закона фильтрации в виде (18.22) является неединственным. В учебниках и монографиях приводится и иное представление коэффициента при квадратичном члене. Например, вместо константы fi и проницаемости фигурирует введенный Е.М.Минским коэффициент макрошероховатости I

grad р = - - W - - к I

или иной коэффициент проницаемости (коэффициент проницаемости весомой жидкости)

grad р = - - W - - к.. к.

где к - коэффициент проницаемости для вязкой жидкости, .р

коэффициент проницаемости весомой жидкости.

Перечисленные представления иелииейиых законов фильтрации лишь одни из вариантов обобщения закона Дарси при больших скоростях фильтрации. Другой распространеиный вариант нелинейного закона фильтрации, разрешенного относительно скорости фильтрации, имеет вид

W = с grad р

grad р, (18.24)

grad р - модуль вектора градиента фильтрациоииого давления, с, /г -

материальные константы пористой среды, определяемые в результате обработки экспернмеитальных данных. Обычно константа п лежит в пределах от единицы до двух. При п = 2 формула (18.24) называется формулой Красиоиольского, предположившего, что зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации при отклонении от закона Дарси квадратичная. В самом деле, для одномерного течения уравиеиие (18.24) можно спроектировать иа координатную ось и записать в скалярном виде

grad р

откуда при п = 2 получается

= с grad р

Соотношение (18.22) представляется более универсальным, чем (18.24), и обычно считается, что его можно использовать при любых скоростях фильтрации. При малых скоростях фильтрации второе слагаемое имеет второй порядок малости (по скорости фильтрации), и им можно пренебречь. В то время как степенной закон фильтрации (18.24), очевидно, можно

использовать только прн нарушеннн закона Дарен (то есть прн Re>Re,p).

Введение в представленне множителя прн второй степени скорости фильтрации в формуле (18.22) в качестве множителя р следует как из теории размерности, так и по физическому смыслу, вкладываемому в причину отклонения закона фильтрации от линейности (плотность р - мера ниер-цни, удельная масса).

Для изотропных пористых сред несложно получить общий вид нелинейного закона фильтрации. Умножим векторное уравнение (18.16) ска-лярно вначале на орт, направленный вдоль скорости фильтрации. В результате получим равенство

grad р .

Далее, разрешая последнее равенство относительно k, будем иметь

grad р

(18.25)

В эксперименте находится зависимость W = Q/S = (grad р). Поэтому, выбрав класс функций, в которых определяется аппроксимация (grad р), можно получить выражение того или иного нелинейного закона фильтрации.

Аналогичные выкладки и рассуждения можно проделать и при определении закона фильтрации, разрешенного относительно градиента фильтрационного давления. Выражение, аналогичное (18.25), для коэффициента фильтрационного сопротивления имеет вид

grad р

г = -

В этом случае полученная экспериментальная зависимость обрабатывается уже как

grad р\ = (\iv\).

Обратимся теперь к отмеченному выше отклонению от закона Дарен, эксиериментально наблюдаемому нрн малых скоростях фильтрации (так как скорости фильтрации очень малы, то это отклонения вблизи нуля). Отклонения нрн малых скоростях фильтрации имеют другую физическую природу и обусловливаются, как уже отмечалось, неньютоновскимн свойствами жидкости и действием значительных поверхностных сил (сил взаимодействия между флюидом и твердым скелетом). При очень малых скоростях фильтрации неньютоновскимн свойствами в пористой среде могут