Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 [ 167 ] 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

откуда на основаннн формул (П.З), (П.13), (П.20)

lpdV =

Эх,,

соз(Й, x)dS =

"г)(р Э

dS =

fNipdS. (П.26)

Формулы (П.18), (П.20)-(П.25) представляют собой частные случаи теоремы Гаусса-Остроградского

L(V)dy =

L(n)dS

где L(d) - линейный однородный оператор, то есть

ь(аа + j3b) = аЬ(а) + /Зь{ь); а, Ь - какне-лнбо векторы; а, j3 - какне-ннбудь числа.

Возьмем некоторый малый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью 5. В соответствнн с теоремой о среднем значеннн

div adV = (div а) dV = V(div a) ,

H из формулы (П.18) имеем

div d = lim -

f 0 V

(d-n)dS.

где V 0 обозначает, что V стягивается к точке.

Аналогичным образом из формулы (П.21) получим

Vp = lim:

f 0 у

Аф = lim -

f 0 у

rot d = lim -

f 0 у

(pn dS,

nVipdS,

[ii X d) dS .

(П.27)

(П.28) (П.29) (П.30)

Выражения (П.27)-(П.ЗО) можно рассматривать как онределения операций divd, Vp, Др, rotd. Эти определеиия, очевидно, ие зависят от выбора системы координат. Следовательно, выражения (П.6)-(П.8) и (П.П) ниварнатгны но отношению ко всем переходам от одной прямолинейной прямоугольной системы координат к другой.

Теорема Стокса

Пусть L - какая-либо кривая. Интеграл

d dr

называется линейным итгегралом вектора d вдоль кривой L.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В соответствии с формулой (ПЛ)

а • dr

{а, dr).

Вектор df направлен но касательной к кривой Z и df = ds, где ds -элемент длины кривой. Произведение \а\ cos(d, df) = представляет собой проекцию вектора а па паправлепие касательной к кривой L. Поэтому

а • df

Линейный интеграл вектора но замкнутой кри-

вон называется циркуляцией вектора по этой кривой.

Рассмотрим какую-нибудь поверхность S, ограниченную замкнутой кривой С (рис. П.З).

Теорема Стокса гласит: циркуляция вектора а по замкнутому контуру С равна потоку вихря этого вектора через поверхность, ограниченную данным контуром, то есть

а df

rot d ds,

Рис. ПЗ

где rot а - проекция вектора rota на нормаль к поверхности S.

В результате рассуждений, аналогичных нроведенным при выводе формулы (П.27), получим

rot а = lim -

а df = lim

(П.31)

где S о означает, что поверхность стягивается в точку.

Криволинейные координаты

Положение точки М в пространстве может быть определено ее радиус-вектором г относительно неподвижной точки О или тремя числами

х, в прямолинейной системе координат. Однако во многих задачах

удобнее определять положение этой же точки и ее радиус-вектора тремя

другими числами Qi, 2 ? 9з которые называются криволинейными координатами точки М.

В прямоугольных декартовых координатах

(П.32)

ПРИЛОЖЕНИЕ

В криволинейных координатах

г = r{q,,q2,q,).

(П.ЗЗ)

Из равенств (П.32) и (П.ЗЗ) следует, что

~ к (Qi ? 2 ? 9з \ Чк ~ Я.к (1 ? 2 ? 3 ) •

Поверхности уровня

, 2, хз) = const

(П.34)

образуют три семейства координатных поверхностей. Линия пересечения двух координатных поверхностей представляет собой координатную линию. Например, линия пересечения поверхностей q = const и q = const

представляет собой координатную линию q,

Рис. П4

то есть линию, вдоль которой меняется значение только (рис. П.4).

Введем в отличие от единичных векто-

ров прямолинейной прямоугольной системы

координат единичные векторы е, направленные по касательным к коорди-

натным линиям в точке Мв сторону возрастания переменных . Если

(П.35)

то такая система криволинейных координат называется ортогональной. Ниже рассматриваются только ортогональные системы координат. Подчеркнем особо, что в отличие от прямолинейных координат направ-1ение векторов зависит от того, для какой точки Мони определяются.

Вектор а, приложенный в точке М, может быть представлен в виде

кк •

Рассмотрим радиус-вектор (П.ЗЗ). При q = const, q = const его годографом является координатная линия q. Поэтому в соответствии с равен-

ством (П.5) производная

имеет направление касательной к коорди-

натнои линии , то есть

Так как е

единичный вектор, то

(по не суммировать!).

(П.36)

Из формул (П.32) и (П.ЗЗ) имеем