Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

мент времени (S = О, то

d(a>

= О, то есть если вихрей ие было, то они

ие могут возникнуть.

Для вязкой жидкости это утверждение неверно.

Уравиеиие движения вязкой несжимаемой жидкости при р = const имеет вид (4.42). При наличии потенциала массовых сил это уравиеиие можно представить в виде

= + V- - 2vxa=Vn-Vp + Ад. (7.91)

dt dt 2 р

Проделывая с уравиеиием (7.91) те же операции, что с уравиеиием (7.82), и учитывая, что rot(Aa) = д rot а, получаем

= {oJ-V}v + Ao}. (7.92)

dt р

Благодаря наличию добавочного члена - Аа вихревые линии ие бу-

дут жидкими линиями и вихри могут распространяться от частицы к частице.

Вектор ds - элемент жидкой линии, в который перейдет элемент ds за время dt. Вектор ds" - элемент вихревой линии в момент времени t + dt. Из формул (7.88) и (7.90) видно, что ds = ds". Следовательно, элементы вихревой линии все время совпадают с элементами жидкой линии, из которых эта вихревая линия составлена. Таким образом, если иапряжеиие массовых сил обладает потенциалом, жидкость идеальная и процесс баротропиый (условия справедливости уравнения Гельмгольца), то вихри движутся вместе с частицами жидкости (вторая теорема Гельмгольца).

Возьмем элементарную вихревую трубку сечением dcT. Ее иапряжеиие равно Cud(7. За время dt она перейдет в вихревую трубку сечением d(7. Так как, по доказанному, она состоит все время из одних и тех же частиц, то из закона сохранения массы имеем

pdads = pda ds.

Заменяя ds ш е - и ds иа £ - , получим Р Р

coda = со dcr,

или, что иапряжеиие вихревой трубки сохраняется во времени.

Из уравнения Гельмгольца (7.86) следует, что если в какой-либо мо-

div V dV =

div{Vg))dV = fNipdS =

dS = 0. (7.95)

Пусть гармоническая функция достигает максимума во виутреиией точке М области D. Окружим точку М бесконечно малой поверхностью S.

При малых возмущениях нелинейные члены v и V)y в урав-

иеиии (7.92) будут величинами второго порядка малости, и это уравиеиие можно неренисать в виде

да) и , -- = -Ай), dt р

которое в точности имеет вид уравиеиия теилоироводиости. Следовательно, при малых возмущениях завихреиость в вязкой жидкости ведет себя, также как температура иеравиомерио нагретого тела. Оиа имеет тенденцию распределяться но всему нагретому телу. Происходит диффузия вихря.

§8. Потенциальное течение несжимаемой жидкости

При иотеициальиом течении однородной несжимаемой жидкости интеграл Коши-Лагранжа (7.66) может быть представлен в виде

n+ + i(vrf=0, (7.93)

dt р 2

а из уравиеиия иеразрывиости и условия иотеициальиости течения имеем

div У = div(V) = А = О, (7.94)

где А - оператор Лапласа.

Из уравиеиия (7.94) следует, что (р - гармоническая функция, а уравиеиие (7.93) при известном позволяет иайти расиределеиие давления. Ограничений иа решение уравиеиия Лапласа уравиеиие (7.93) ие накладывает. Поэтому всякому иотеициальиому течению несжимаемой жидкости соответствует своя гармоническая функция , а всякой гармонической функции соответствует свое иотеициальиое течение несжимаемой жидкости.

Таким образом, изучение иотеициальиых движений однородной несжимаемой жидкости сводится к изучению решений уравиеиия Лапласа, то есть к поиску его решений при заданных краевых условиях.

Рассмотрим область иростраиства, в которой задана любая гармоническая функция. На основании теоремы Гаусса-Остроградского и формулы (7.94) имеем

Так как (р достигает максимума в точке М, то в точках иоверхиости S

должно бьггь - < О, а равенство (7.95) ие может иметь места. Следова-дп

тельио, функция (р ие может иметь максимума во виутреиией точке области D. Аналогичным образом доказывается, что (р ие может иметь минимума во виутреиией точке области. Таким образом, гармоническая функция может достигать максимума или минимума только иа границе области D.

Пусть скорость течения достигает максимума во виутреиией точке М области и равна Vj. Выберем в этой точке оси координат так, чтобы

~ Так как (р - гармоническая функция, то также гармоииче-Эх, Эх,

екая функция, а поэтому она ие может иметь максимума в точке М. Тогда в малой окрестности точки М найдется такая точка TV, в которой

Э(р Эх,

откуда

Э(р Эх,

Э(р Эх,

Э(р Эх,

Из неравенства (7.96) видно, что скорость течения ие может достигать максимума во виутреиией точке области. Аиалогичио доказывается, что она ие может достигать и минимума во виутреиией точке области. Следовательно, скорость иотеициальиого течения несжимаемой жидкости может достигать максимума или минимума только иа границах области D.

Рассмотрим некоторые примеры потенциальных течений несжимаемой жидкости.

1. Пусть

г = л [X, - X,

(7.97)

Тогда

Э(р Q{t) Xi - Xi Э> Q{t) - 3(Xi - Xi

откуда сразу следует, что

А(р =

Э(р Э(р Э(р Эх" Эх1 Эх1

= 0.

Следовательно, - гармоническая функция, которая описывает течение несжимаемой жидкости.