Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [ 156 ] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

упругой пористой среде, В.Н.Щелкачев назвал коэффициентом пьезопроводности пласта по аналогии с коэффициентом температуропроводности в уравнении теплопроводности.

Размерность коэффициеита пьезопроводности к можно установить из (23.18):

Ы[Р*] L-MT-LM-T Т где L, М, Т - соответственно, размерности длины, массы и времени. Наиболее часто встречающиеся в нефтепромысловой практике значения коэффициеита пьезопроводности заключены в пределах от 0,1 до 5 mIc.

Отметим, что уравиеиие пьезопроводности (23.16) применимо только для слабосжимаемой упругой жидкости, для которой Д. (р - pQ) « 1. Если же это условие ие выполняется, то при переходе от (23.14) к (23.15) нельзя пренебрегать слагаемым с . Данное обстоятельство приведет к тому, что диффереициальиое уравиеиие значительно усложнится и станет иелииейиым.

§5. Одномерные фильтрационные потоки упругой жидкости. Точные решения уравнения пьезопроводности. Основная формула теории упругого режима

Рассмотрим наиболее простые точные решения уравиеиия пьезопроводности (23.16) для одномерных потоков.

5.1. Прямолииейио-параллельиый фильтрационный поток упругой жидкости

Случай 1. Приток к галерее, иа которой поддерживается постоянное давление. Пусть в полубескоиечиом горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В начальное пластовое давление всюду постоянно и равно . На галерее (при д: = 0) давление мгиовеиио снижено до р и в дальнейшем поддерживается постоянным (т.е. р = const). В удаленных точках (д: о=) давление в любой момент времени остается равным р.

При этих условиях в упругом (деформируемом) пласте образуется неустановившийся прямолииейио-параллельиый поток упругой жидкости. Давление в любой точке потока д: и в любой момент времени t можно определить, интегрируя уравиеиие пьезопроводности (23.17), которое для одномерного течения в декартовой системе координат запишется в виде:

= rff, 0<:.<о.. (23.19)

Начальные и граничные условия, сформулированные выше и занисаи-иые в виде математических соотиошеиий, будут следующие: p{x,t) = А при t = 0; p{x,t)=p при х = 0, t>0; (23.20)

р{х,t) = р при X = , t >0. Задача заключается в оиределеиий дебита галереи Q{t) и давления в любой точке потока, в любой момент времени, то есть функции р{х, t).

Используя анализ размериостей, покажем, что поставленная задача автомодельиа, т. е. из аргументов, от которых зависит давление, можно составить одни безразмерный комплекс, от которого будет зависеть искомая функция p{x,t).

Обозначим через Р = {р - рг)/(рк ~ Рт) безразмерное давление, которое, как следует из соотиошеиий (23.19) и (23.20), зависит от времени t, координаты X и коэффициента иьезоироводиости /f, т.е.

P = f{x, t,fc).

Размерности этих аргументов следующие: [х] = L, [t] = Т, [/г] = L2 Т-1, и из них можно составить безразмерный комплекс х/л[. Приняв за новую иеремеииую безразмерную величину и = x/[2llct), сведем задачу к нахождению безразмерного давления Р, зависящего только от и (автомодельной иеремеииой), Р = f{u). В результате подобного перехода граничные условия (23.20) запишутся в виде

Р = О при ы = О,

Р = \ при ы = ОО. (23.21)

В силу линейности дифференциального уравиеиия (23.19) для безразмерного давления Р имеем такое же уравиеиие, как и для размерного р,

if=rf. (23.22)

dt Эх

Используя правило диффереицироваиия сложных функций, частные производные но координате и времени можно выразить через производные но безразмерной (автомодельной) иеремеииой. Выполняя диффереицироваиия, находим

ЭР йРЭи dP 1

Эх dP Эи

du Эх dP X

du 2Vst

Эt du Эt du 2-Jhr,

Э ГЭР\ Э fdP 1

Эх Эд: I Эд: J Эд: I du 2л[

2Vt у 1

du dP Эи

и 2t

1 dP

2л/St du Эх 4fd du

Вторым условием (23.20) воспользуемся для нахождения константы иитегрироваиия (\. Устремим переменный верхний предел и в интеграле к бесконечности и получим

\ = c"e-du.

Из интегрального нсчнсления известно, что е~" du = V/2, поэто-

му предьщущее соотношение дает Q = 2/л/ж, и окончательно получим

l-fiu

е" du. (23.26)

Интеграл (23.26) называется нитегралом вероятности, является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от О до 1 н имеет спецн-

Подставляя найденные значения производных в уравиеиие (23.22), получим обыкновенное диффереициальиое уравиеиие

+ 2и = 0, (23.23)

аи аи

которое должно быть решено при условиях (23.21). Для решения уравиеиия (23.23) обозначим dP/du = тогда уравиеиие (23.23) принимает вид

- + 2и = 0. (23.24)

Разделив переменные в (23.24), будем иметь

=-2udu

и далее, проинтегрировав, получим

ln = -u+lnQ,

потенцируя которое, найдем

dp 2

I = = Се"" , (23.25)

где Q - постоянная нитегрирования.

Проинтегрировав (23.25) с учетом первого нз условий (23.21), получим:

Р = а ie-du.