Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [ 127 ] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Эр Эд:

pifi+fi)- (19.5)

Считая, что сила вязкого трения иропорцнональна скорости фильтрации W в первой степени, то есть принимая = pXw, получаем нз (19.5) соотношение

Эр т 2,-22 dx I

Теперь достаточно положить Л = - pj pk, тогда получится закон Дарен.

В основу рассуждений Н.Е.Жуковскнй положил уравиеиие движения идеальной жидкости Эйлера. Для упрощения рассуждений рассмотрим случай одномерного течения, когда уравнение движения имеет вид

dv dv dp dt dx dx

где / - проекция плотности объемных (массовых) сил иа направление движения, V - истинная средняя скорость движения.

При течении жидкости в пористой среде возникает сила трения иа границе раздела «среда-жидкость». Поскольку поверхность поровых каналов достаточно велика и при переходе от истинной средней скорости фильтрации к скорости фильтрации сила трения «размазывается» но всей области, то силу треиия можно считать объемной силой. Поэтому плотность объемных сил можно представить в виде

где - проекция плотности объемной силы тяжести, fi = Й sin а = = [г, - Zjjg/l, если ось потока наклоиена к горизонтали под углом а (см. рнс. 18.6), - проекция объемной силы вязкого трення, обусловленной теченнем в пористой среде.

Далее, считая, что среда изотропна н просветность постоянна, перейдем от истинной средней скорости к скорости фильтрации

Р dw W dw dp

Положим, что изменения скорости во времени малы и иренебрежем членом dv/dt. Второе слагаемое в левой части, представляющее ннерцнон-ный член, прн малых скоростях фильтрации тоже оказывается пренебрежимо малым. Тогда получается

div pw = О,

iv = - - (grad p + pf

(19.6)

для аиизотропнои пористой среды

div pw = О,

w. =

Эр ,

(19.7)

Полученные четыре скалярных уравнения (три уравнения задаются законом Дарси, одно выражает закон сохранения массы) содержат шесть неизвестных скалярных функций - три компоиеиты вектора скорости, плот-ность, давление н пористость (в общем случае в число неизвестных функций еще можно добавить проницаемость н вязкость). Поэтому ясно, что системы (19.6) и (19.7) незамкнуты. Более того, понятно, почему только одних законов сохранения иедостаточио для получения замкнутой системы уравиеиий. Законы сохранения справедливы прн фильтрации вязкой жидкости во всех пористых средах, а сами пористые среды и вязкие жидкости могут обладать различными свойствами - жидкость может быть сжимаемой и несжимаемой, пористая среда - деформируемой и недеформируемой и так далее. Следовательно, для задания свойств конкретной пористой среды н жидкости необходимо иметь еще уравиеиия, определяющие эти дополин-тельные свойства (поэтому уравнения и называются определяющими).

В рассматриваемых изотермических фильтрацноиных течениях определяющие уравнения обычно имеют вид зависимости плотности, пористости (проницаемости, вязкости) от давления, например, р = р{р) и так далее. В этом случае наиболее общий вид замкнутой системы уравиеиий (математической модели) имеет вид Этр

div pw = О,

w = -{gradp + pf), (V

p = p(p), m = m(p), k = k(p), p = p(p).

§4. Замыкающие уравнения. Математические модели изотермической фильтрации

Выпишем полученные законы сохранения: для изотропной пористой среды -

- - gradр = - -divgradр = - - Ар = О , или Ар = О,

k 1 rvi-i-Y 1-1 - k

где А - оператор Лапласа.

Следовательно, систему (19.10) можно переинсать в виде

Ар = О,

k 1 (19.11)

W = - - grad p. р

Замкнутые системы уравнений (19.10) и (19.11) представляют собой математическую модель теории фильтрации вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой изотрониой пористой среде.

Системы уравиений для математической модели теории фильтрации вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой анизотроиной пористой среде выглядят аиалогичио и получаются заменой в системах (19.10)

Внд функций от давления в (19.8) подразумевается заданным. Ниже рассмотрим некоторые варианты задания этих функций и соответствующие математические модели.

§5. Модель фильтрации несжимаемой вязкой жидкости но закону Дарси в недеформируемом пласте

Наиболее простая модель изотермической фильтрации получается, когда жидкость считается несжимаемой, вязкость - постоянной, а пласт - не-деформнруемым. В этом случае определяющие уравнения задаются равенствами:

р = const, т = const, k = const, р = const, (19.9)

и замкнутая система уравнений для фильтрации в изотропном пласте приобретает вид

div W = О,

ki А f\ (19.10)

W = -- (grad р + pfj. М

Система уравнеинй (19.10) содержит четыре уравиеиия и четыре неизвестных функции - три комиоиеиты вектора скорости и давление. Плотность перестает быть искомой функцией, так как оиа не изменяется и задается, если необходимо, нрн постановке задачи, так же как и вектор массовых сил.

Система (19.10) может быть преобразована. Для упрощения рассуждений пренебрежем массовыми силами и подставим закон Дарен в уравнение неразрывности. В результате получим