Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ПРИЛОЖЕНИЕ

в настоящем нриложеиии приводятся некоторые важные математические формулы. При этом иредиолагается, что все встречающиеся в тексте пределы существуют. Также предполагается, что все функции достаточно гладкие, так что все производные и интегралы существуют и все исиоль-зуемые математические операции законны. Во всех формулах, если обратное ие оговорено особо, подразумевается суммирование но повторяющемуся индексу. Например,

i = 1, 2, 3; к = 1, 2, 3

Индексы, но которым производится суммирование, называются «немыми» . Очевидно, что

то есть обозначение немых индексов можно менять произвольным образом. Индексы, но которым ие производится суммирование (иаиример, k в иредьщущей формуле), называются свободными.

Произведение векторов

Скалярное ироизведеиие векторов а = ёа и Ь = ё,Ь,, где единичные векторы ( = 1,2, 3) взаимно нернеидикуляриы, то есть образуют орто-иормироваииый базис, равно

а Ь = а Ь cos(a, ь) = аЬ. (П. 1)

Из равеиства (П.1) имеем

db = b а,

d-b = 0 при \d\0, bO только если alb, d d = d\ % = ifc

Скалярное ироизведеиие d-Ь, как это следует из формулы (П.1), иредставляет собой иивариаит отиосительио иреобразоваиия координат. Векторное ироизведеиие векторов а = ёа и Ь = ё,Ь, равно

с = ахЬ = \а\ b sin(d,b). (П.2)

Векторное произведение, как это видно из формулы (П.2), обладает следующими свойствами:

ахВ = -Вха,

а X Ь = О при а О,

О только если а \ \ Ь.

ахЬ = с, Ьхс = а, сха = Ь,

В координатном виде векторное произведение может быть представлено как

G, G-f

d X Ь = а, а-, а-, = е,\a-,D-, - a-,D-, I + e-Aa-,D, - a,D-,} + e-Aa,D-, - a-,

Производная no направлению

Полем функции tp называется область пространства, в каждой точке М{х,х2,х) которого задано значение функции = (м). Если (м) - скалярная функция, то поле называется скалярным. Если (м) - векторная функция, то поле называется векторным.

Рассмотрим скалярную функцию (р{м) = tp{x,x2,x) и точки М{х,х2,х) и Mo(xio, Хзо, Хзо), лежащие иа прямой, задаваемой вектором s (рис. П.1).

Предел

(М)-(Мо

называется производной функции q) по направлению s.

Длина 5, отсчитываемая вдоль рассматриваемой прямой, есть, очевидно, функция координат, то есть s = s(xi, х, х). Поэтому

д(р д(р dx

ds Эх ds

dx,.

а так как

= coslx, s), то

-coslx.,sl

Для векторной функции а{м) = еа(м) имеем

afc(M)-a(Mo

ЭЙ . а{м)- а{Мд ds ммоо ММ,

да,.

да dx.

(П.З)

(П.4)

COSi X. , S I.

ds dxi ds Эх;. Рассмотрим векторную функцию a(s) скалярного аргумента s. Годографом вектора a(s) называется геометрическое место концов векторов

приложение

d(s), откладываемых от общего начала О (рис. П.2). Тогда

да ds

d{s + As) - a(s)

(П.5)

Xq a

Рис. П1

Рис. П2

Из этого определения следует, что направление вектора

да ds

совпадает

с направлением касательной к годографу вектора a(s) (рис. П.2).

Градиент, дивергенция, вихрь

Вектор

grad = ё

называется градиентом скалярной функции {х.х.х).

Скаляр

divd

называется дивергенцией вектора а = ёа{х,х,х).

Вектор

rot d = ё

эа. да

дх. дх

да да

да2 да

дх дх

(П.6)

(П.7)

(П.8)

называется вихрем, или ротором, вектора а. Вихрь вектора а может быть представлен в виде символического определителя

rot d

дх а

дх. дх