Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

{&(Xi,t)dV = lim -

dty(y MoAt

,(2.16)

g)(Xj,t + At)dV - \g)iXj,t)dV

V(t+At) V(t)

где V(t + At) - положение, занимаемое жидким объемом V(t) в момент времени t +At. Так как

j(Xj, t + At) dV = j(Xj, t + At) dV + j(Xj, t + At) dV,

V(t+At) V(t) V(t+At)-V(t)

TO равенство (2.16) можно представить в виде

(2.17)

+ lim - l(p(Xj,t + At)dV.

Первое слагаемое в соотношении (2.17), очевидно, равно

, (p(Xi,t + At) - (p(Xi,t) , dcpix.t)

lim - dV= dV. (2.1;

Левые части соотношений (2.8), (2.10), (2.11), (2.13) н (2.14) можно записать в общем виде как

at уу

где (p(Xj,t) может принимать одно из значений /?, pv, fx pv, +v/2), pv/2, a Ф представляет собой правые части указанных выше равенств. Поэтому для придания соотношениям (2.8), (2.10), (2.11), (2.13), (2.14) соответствующей математической формулировки, необходимо вычислить полную (материальную) производную по времени от интеграла, взятого но материальному (подвижному) объему.

§2. Дифференцирование по времени интеграла, взятого по подвижному объему

Для вывода формулы дифференцирования но времени интеграла, взятого по подвижному материальному объему, рассмотрим положение этого объема V(t) в моменты времени t и t+At (рис. 2.2). По определению полной производной.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Для вычисления второго слагаемого заметим, что, как это видно из рис. 2.2, V{t + At)-V{t) =

= V + V,-V,-V, = V-V,, где

объемы пространства,

соответственно, освобожденные и вновь занятые за время при

Рис. 2.2

движении материального объема, 1/3 - общая часть объемов V{t)

и V{t + М).

Для объема V2 элемент объема d V может быть вычислен как объем

цилиндра (рис. 2.2) с основанием dS и высотой vM - д • пМ, где

проекция скорости на внешнюю нормаль п к поверхности S2, разделяющей объемы V2 я V.

Тогда

g)(Xj,t + At)dV

(p{Xj, t + At)VnAtdS.

Проведя аналогичные рассуждения для объема V получим, что высота элементарного цилиндра равна v • nAt = -vAt и

g)(Xj,t + At)dV

(p {Xj, t + At)vAt dS,

где Si - поверхность, разделяющая объемы и V2.

Из приведенных рассуждений следует, что второе слагаемое в правой части (2.17) имеет вид

lim-

AtAt

V{t+M)-V{t)

(p(Xj,t + At)dV= lim

xy, t + At)dV- (p{x, t + At)dV

<p{Xj,t + /St)Vn dS+ Xj,t + At)VndS

(2.19)

(p{Xj,t)VndS,

Sit)

где S{t) - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V{t).

Подставив выражения (2.18) и (2.19) в (2.17), получим окончательно

(p{Xj,t)dV

d(p{Xj,t)

Vit)

Vit)

<p{Xj,t)VndS.

(2.20)

Sit)

Подчеркнем еще раз, что в соотношении (2.20) нормаль п считается внешней по отношению к замкнутой поверхности S{t).

Полагая в соотношении (2.21) а = у, из (2.20) получим

Xj,t)dV = I -+ divi3

V(t) V(t)

dV, (2.22)

где для краткости записи опущены аргументы функции (х, t). Так как

div (рд = (р div v + Vi

Эх,-

Э(р Э(р d(p

- + Vi = -, dt dXi dt

то соотношение (2.22) можно переписать в виде

- jg)dV= \ + g)diYv]dV. (2.23)

d v(t) v(tydt )

Легко видеть, что соотношения (2.20) и (2.23) сохраняют свой вид и

в том случае, когда представляет собой векторную функцию сво-

их аргументов .

Полученное выражение для дифференцирования интеграла по времени позволяет вывести единообразным способом математические выражения законов сохранения массы, изменения количества движения, изменения момента количества движения, энергии и изменения кинетической энергии.

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), немецкий математик, иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.

Михаил Васииьевич Осхроградский (1801-1861), русский математик и механик, действительный член Петербургской Академии Наук.

Более строгий вывод соотношения (2.23) приведен в приложении.

Для дальнейшего преобразования соотношения (2.20) воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского в виде

ja„dS= jdndS= jaaidS = jdV = jdivddV, (2.21)

S S S vi V

где d = ejaj, ai - направляющие косинусы нормали Я, а дивергенция вектора а равна

Эа,-div а =