Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

При г О и оо то есть начало координат - особая точка поля скоростей. В этой точке производные , терпят разрыв, и, следователь-

dXi дХ2

но, нарушаются условия теоремы Стокса. Если же точку г = О исключить, то область становится многосвязной. Особую точку можно рассматривать

как концентрированный вихрь.

Циркуляция по окружности С с центром в точке О равна

2л"

vrdcp = Inrv = J.

Циркуляция по любой замкнутой кривой Ci, охватывающей начало координат, равна J. Действительно, = Fg + + = Г, где индексы

указывают на линии, вдоль которых выполняется интегрирование (рис. 3.9).

const

Рис. 3.8

Рис. 3.9

Рассмотрим поле вихря т. Для этого поля можно построить вектор-ные линии - линии вихря. Аналогично трубке тока можно построить вихревые трубки и их живые сечения (рис. 3.10).

Из формулы (3.33) следует, что divft) = О и в соответствии с теоре-

мой Гаусса-Остроградского

diY a)dV

ю fids

cods = О,

(3.36)

то есть поток вихря через замкнутую поверхность равен нулю.

Рассмотрим вихревую трубку, ограниченную поперечными сечения ми aSi, А§2 и боковой поверхностью А§з (рис. 3.10). По определению вихре

вой трубки, й;= О на а§з , и из формулы (3.36) имеем

cods

cods +

cods = 0. (3.37)

Cm. гл.I, § 4.

ГЛАВА III

Меняя на *Si направление нормали на проти-

воположное и используя теорему Стокса (3.30), из формулы (3.37) получаем

cOnds

cOnds

Г. (3.38

Рис. 3.10

Из формулы (3.38) следует, что циркуляция по любому замкнутому контуру С, охватывающему вихревую трубку, есть величина постоянная. Этот вывод представляет собой вторую теорему Гельмгольца.

Для элементарной вихревой трубки из равенства (3.38) имеем

= Г, (3.39)

где , А§2 - площади сечений вихревой трубки. Величина 2co/S.S называется напряжением вихревой трубки.

Из равенства (3.39) следует, что если величина со во всей области

жидкости конечна, то и zIaS в этой области конечна. Следовательно, вихревые трубки не могут кончаться внутри жидкости. Они либо замкнуты, либо оканчиваются на поверхности жидкости, либо уходят в бесконечность. Очевидно, что этот вывод справедлив и для трубок тока.

при использовании теоремы стокса направление обхода на контурах, ограничивающих сечения

и S2, должно быть одинаковым. поэтому если на S2 берется нормаль внешняя, то на необходимо взять внутреннюю.

Глава IV ЖИДКОСТИ

§1. Математическая модель идеальной жидкости

Как уже указывалось в §2.9, система уравнений сплошной среды (2.90) является незамкнутой. Для ее замыкания необходимо добавить реологическое уравиеиие рассматриваемой сплошной среды или, иначе говоря, задать свойства этой среды. Простейшей моделью сплошной среды является идеальная жидкость.

Идеальной жидкостью (газом) называется изотропная сплошная среда, в которой отсутствуют касательные напряжения, то есть Pik =0 {i k). При этом нормальные напряжения являются сжимающими и их величина зависит только от точки сплошной среды и не зависит от направления. Касательные иапряжеиия в жидкости возникают благодаря трению. Поэтому можно сказать, что идеальная жидкость - это жидкость, лишенная впутрениего трения.

Пренебрежение внутренним трением существенно упрощает математическую постановку задач гидромеханики. Это в ряде случаев помогает разобраться в физике рассматриваемых процессов. Кроме того, модель идеальной жидкости позволяет достаточно хорошо описать такие важные с точки зрения практики, явления как гидравлический удар, возиикиовеиие ударных воли в газах, возиикиовеиие подъемной силы крыла, обтекание хорошо обтекаемых тел и многое другое.

Согласно определению идеальной жидкости имеем

Рпп= Р = Р2 = Рз = -Р (4.1)

Положительная скалярная величина называется давлением . Знак «минус» перед р указывает, что в жидкости допускаются только сжимающие нормальные иапряжеиия. Напряжения в идеальной жидкости имеют вид: в векторной форме

Рпп = -Рп, (4.2)

обычно молчаливо предполагается, что введенная таким образом величина р тождественна давлению, используемому в термодинамике. Однако это обстоятельство нуждается в дополнительном обосновании.