Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ откуда

XJa cos в XJa х.

(7.102)

2г" 2Г

Легко проверить, что потенциал (р, определяемый формулой (7.102), отвечает всем поставленным условиям.

Придадим всей системе скорость, противоположную скорости сферы, то есть скорость - XJ. Это движение имеет потенциал -XJx,. Потенциал относительного движения (сфера покоится, а жидкость иа нее набегает со скоростью -XJ) получим, сложив потенциалы абсолютного и переиосиого движений. Тогда

Ua?x,

-Ux,=-

cose. (7.103)

Из формулы (7.103) следует, что нормальная составляющая скорости жидкости v„ иа поверхности сферы равна

и„ = -

= 0.

ТО есть неподвижная сфера является поверхностью тока. Поэтому скорость жидкости иаправлеииая по касательной к ней, есть полная величина скорости, и

V = v =

= - (7 sill)

(7.104)

Как видно из формулы (7.104), в точках АиВ (рис. 7.7) У = О, а при = (иа экваторе) v = 17. Следовательно, иа экваторе скорость обтекания сферы иа 50% больше скорости набегающего потока.

При установившемся движении, пренебрегая массовыми силами, из иитеграла Бернулли (7.28) имеем

р=Ро+р-. (7.105)

где pQ,U - давление и скорость иа бесконечности. Подставив в формулу (7.1 05) значение скорости иа экваторе, получим

Р = Ро-Р-

На поверхности ci стороны.

внепшяя нормаль к жидкости и радиус ci

направлены в противоположные

Так как скорости расиределеиы симметрично относительно экватора, следовательно, и давления также расиределеиы симметрично, то соиротив-леиие движению сферы и иодъемиая сила равны нулю. Этот результат иредставляет собой частный случай парадокса Даламбера (см. ниже).

Хотя теория иотеициальиых иеирерывиых движений идеальной жидкости и приводит к парадоксу Даламбера, благодаря ей можно вычислять распределения скоростей для хорошо обтекаемых тел, близкие к действительности, что позволяет вычислять и силы треиия с исиользоваиием теории иограиичиого слоя, в котором проявляются силы вязкого треиия (см. гл. XIV).

Прейдем к рассмотрению неустановившегося движения сферы. Пусть сфера радиуса а движется ностунательио со скоростью U = U{t) параллельно оси Ох. В подвижной системе координат, связанной со сферой, нотеициал течения имеет вид (7.102). Интеграл Коши-Лаграижа (7.69) в иредиоложеиии, что жидкость несжимаема и что массовыми силами можно иреиебречь, в рассматриваемом случае имеет вид

dt Эх

= const.

(7.106)

р 2 р

так как иа бесконечности жидкость покоится, давление равно Pq (9i ~ потенциал в подвижной системе координат). Из формулы (7.102) имеем

г-Ъх1

Э(р Ъ Ua Эу~1~2~г

Э(р 3 Ua Эг 2

Хл 2i

Следовательно, в точках М и Mi, симметрично расиоложеииых относительно плоскости г/Ог, (рис. 7.8),

(7.107)

поэтому

dip dx-

dip dx-

(7.108)

Ha сферу при ее движении будет действовать гидродинамическая сила R = - pndcr, (7.109)

где а - поверхность сферы. Площадь элемеитариого шарового пояса

da = 2ш sinede.

COS в da = 2лиро

cos6sin6(/6 = 0.

(7.110) (7.111)

Проектируя равенство (7.109) иа ось Од:, с учетом формул (7.1i и (7.111) получим

[р ~ Po)cos6sin6(/6.

(7.112)

Подставив в соотношение (7.108) разность [р- р) из иитеграла Коши-Лаграижа (7.106), с учетом равенств (7.107) и (7.108) имеем

= -2шр

cossinf/.

(7.113)

где при вычислении иитеграла необходимо принять г = а, так как р - давление в точках сферы.

Из формулы для потенциала в подвижной системе координат (7.98) при г = а, = г cos в имеем

Эф, а dU

= - --cos в.

3t 2 dt

Подставив это соотношение в формулу (7.109), получаем

R = -ш р

3 dU

dt .

cos в sin в de = -- р

2 dt

Если -> О, то сила сопротивления R отрицательна, то есть пре-

пятствует увеличению скорости U. При < О сила R мешает тормо-

жеиию. Идеальная жидкость как бы повышает инертность тела.

Действительно, в идеальной жидкости уравиеиие движения шара может быть записано в виде

dU (,) 2л- 3 (/[/

т-= - - pa -, или

dt 3 dt

, 2л- 3 т + - pa 3

= F\

a в пустоте