Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

+ 2apw,

Для линеаризации второго из уравнений (13.36) может быть исиользо-ваио соотиошеиие (13.33). Тогда

Эр 2 d{pw)

Эр d{pw) Эх dt

где при малых дозвуковых скоростях течения можно принимать с = const. При этой линеаризации уравиеиия (13.37) совпадают с уравнениями (13.34) для жидкости, когда р = const. Такая линеаризация является более грубой, нежели для жидкости, так как в длинных газопроводах скорость по длине может заметно меняться, что ие имеет места при течении жидкости.

Для того, чтобы указать другой способ линеаризации уравнений (13.36), воспользуемся следующим приемом. Учитывая (13.25), перепишем уравиеиия (13.36) в виде

Эр Эш Эр Эш

dp dx

dp dt

W dp Эд:

(13.38)

Исключая из второго уравиеиия (13.38) , получим

Эр dw dx dt

(13.39)

Выше мы условились рассматривать малые дозвуковые скорости и пренебрегать скоростным напором и его производными. Поэтому первое из уравнений (13.37) и уравиеиие (13.39) можно с учетом соотиошеиий (13.25) и уравиеиия состояния (13.35) переписать в виде

Эр dw dt dx

р dw

dp dx

dw Я

dt ss

ZRT dx

dw Я

dt SS

Э1пр

ZRT dx

Э1пр

dw Я

dt SS

(13.40)

Уравиеиия (13.40) совпадают с уравнениями (13.28) для жидкости, если в последние подставить вместо р In р, а вместо р - 1/(ZRT). Линеаризация уравнений (13.40) может быть произведена с помощью соотношения (13.33).

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

§4. Интегрирование уравнений неустановившихся движений

жидкости и газа методом характеристик

Системы уравнений - нелинейная

Эр 2 Эи

= ОС

др дх

ди> Я - +

(13.41)

и линеаризированная

Эр dt

др дх

dx dw ~di

+ law

(13.42)

относятся к гиперболическому типу. В дальнейшем нри движении жидкости, как это следует из уравнений (13.28) и (13.34), под р будем понимать приведенпое давление р = р + pez. При движении газа в соответствии

с уравнениями (13.40) под р будем понимать In р, а под р

const.

Для численпого интегрирования нелинейной системы (13.41) наибо лее удобным является метод характеристик. Используя стандартные мето ды, получим, что уравпения характеристик и соотношепия на них имеют вид

x-ct = const, dp + pcdw + р

wdx = 0,

x + ct = const, dp - pcdw + p

(13.43)

wdx = 0

Заметим, что в рассматриваемом случае уравнения характеристик не зависят от решения. Поэтому их сетка может быть построена до начала решения, что суще-ствепно упрощает процедуру численпого интегрирования. Характеристика, описываемая соотношепием х - ct = const, называется прямой, а соотпошением X + ct = const - обратной. Заменяя в дифференциальных соотношениях (13.43) дифференциалы конечными разностями, чим систему уравнений для определения приближенных значений р и w в точке 7

Рис. 13.3

(рис. 13.3), которые обозначим через p-j,-;. Эта система имеет вид

(13.44)

/ ч л 11 I / ч

3j + рс [w- - wA + р [х- - хЛ = (X

Pi - Рг -PC{W,-W,) + pW, [Х, - X,) = О,

где р,, p2,iv,,W2, ЛЯ - значения р, Я в точках 1 и 2, соответственно. Для того, чтобы эти значения были известны, необходимо, очевидно, задать начальные условия

w{x,0) = Д {х1 р{х,0) = fj (х\ О <х <1,

где I - длина трубы. Аналогичным образом вычисляются значения р и W в точках 8, 9, 10 и 11. Найденные из уравнений (13.44) значения Рт,Щ представляют собой первое приближение функций р и w в точке 7. Для их уточнения можно прибегнуть к обычным итерационным методам. Другой способ повышения точности заключается в уменьшении шага сетки характеристик. В граничную точку 12 приходит только обратная характеристика. Поэтому из уравнений (11.43) имеем только одно соотиошеиие

Ри - Р7- Ми + Р-

содержащее две неизвестные р,2 и w,2 Для получения второго уравиеиия необходимо задать граничное условие при д: = О, то есть одно из соотиошеиий вида

W = w[t\ р = p{tl f{p,w) = о при д: = о, t> 0. (13.45)

Решение в граничной точке 17 получается аналогичным образом. Для этого необходимо выписать коиечио-разиостиое соотиошеиие иа характеристике и задать граничное условие типа (13.45), но при х = I. Очевидно, что метод характеристик может быть использован и для численного интегрирования линеаризированной системы уравнений (13.42).

§5. Интегрирование линеаризированных уравнений неустановившегося движения с помощью преобразования

Лапласа

Изображение по Лапласу функции двух переменных и{х, t) и ее частных производных по координате и времени имеют, соответственно.