Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

§7. Теорема об изменении кинетической энергии

Для получения математического выражения теоремы об изменении ки-

иетической энергии положим в соотношении (2.23) (р = р -. Тогда с учетом уравиеиия иеразрывиости (2.25) получим

d dt

dt 2

d dt

,2 л

р - div V

dV =

dp dt

pdlYV

dV= jp

(2.72)

Подставив в уравиеиие (2.14) соотношения (2.63) и (2.72), получим

р--- pFv--i- - pN"

dt 2 Эх,.

dV = 0.

(2.73)

а так как это соотиошеиие справедливо для произвольного объема, то

ppFvpNVK (2.74)

dt 2 dXi

Из уравиеиия (2.74), то есть из теоремы живых сил для сплошной среды, следует, что скорость изменения кинетической энергии равна мощности всех внешних и внутренних сил. При этом в уравиеиие (2.74) так же, как и в уравиеиие (2.75), входят удельные но объему величины.

Для того, чтобы получить теорему живых сил для трубки тока, положим

в соотношении (2.20) (р = р- и, воспользовавшись уравнением (2.14), получим соотиошеиие

dfpv

dV + \v„dS = \pFvdV+ \p„vdS+ \pN>dV, (2.75)

представляющее собой интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии.

Выберем в качестве замкнутой иоверхиости S поверхность, ограии-чеииую живыми сечениями трубки тока S, Sj и ее боковой поверхностью S3 (рис. 2.3), и примем, что иаиряжеиие массовых сил обладает но-

теициалом, то есть что F = VYI. Используя соотиошеиия (2.67) и (2.68), после рассуждений, аналогичных проведенным при выводе (2.69), из равенства (2.75) получим соотношение

V 2 ,

pvdS- J

dV+ j - pvdS- j - pvdS

(2.76)

pvdS+ jpfvdS+ jpNdV,

s, V

представляющее собой выражение теоремы об изменении кинетической энергии для трубки тока при наличии потенциала для иапряжеиия массовых сил.

При установившемся движении соотношение (2.76) принимает вид

- П -

Р 2

- pvdS- I

,2 л

- п -

pv dS =

\pvdS + \pN<4v

(2.77)

- п -

Р 2

2 ЛР

- п -

Р 2

2 ЛР

S-, V

(2.78)

где осреднение по сечениям S- и Sj имеет тот же смысл, что и в (2.71).

Для вычисления удельной мощности виутреииих сил TV** вернемся к рассмотрению соотиошеиия (2.68).

Умножив уравнения движения в иапряжеииях (2.42) скалярио иа вектор скорости V, получим

pv- = р dt dt

= pFv + V

(2.79)

Вычитая почлеиио соотношение (2.79) из соотиошеиия (2.78), име-

дх,- дх,- дх,-

или, так как = epip v = еу ,

=-р,- = -ejPij - = -Ptk- (2.80)

dxi dxi dxi

Из равеиства (2.80) следует, что если все точки рассматриваемого объема сплошной среды движутся с одинаковыми скоростями, то есть если vk = vk{xj, t) = vk{t), то 7V*=0. Следовательно, работа виутреииих сил может бьпгь отличной от нуля только в иростраиствеиио иеодиородиом ио-

ле скоростей, в котором -- ф О.

§8. Уравнение притока тепла

Для получения уравиеиия, описывающего изменение виутреиией энергии, рассмотрим закон сохранения полной энергии (2.65) и вычтем из этого уравиеиия иочлеиио уравиеиие (2.74). Тогда получим

- = д,-Ж«. (2.81)

Соотиошеиие (2.81) содержит удельные (но массе) внутреннюю энергию и , тепловую мощность g, мощность виутреииих сил 7V и называется уравнением притока тепла. Из этого уравиеиия видно, что при адиабатическом процессе, то есть при 5е=0, изменение виутреиией энергии может происходить только за счет работы виутреииих сил.

С помощью соотношения (2.80) уравнению притока тепла можно придать вид

du dvi

-77=Че+-- (2.82)

dt р dxk

Из уравиеиия (2.82) следует, что в однородном иоле скоростей, т.е. при vi = vi{t), изменение виутреиией энергии определяется только внешним подводом тепла.

Заметим, что уравиеиие притока тепла, как и теорема об изменении кинетической энергии, ие является независимым уравнением - оно есть следствие основных законов сохранения.

Примеры исиользоваиия уравиеиия притока тепла приведены в гл. IV.

§9. Система уравнений движения сплошной среды

Из всего вышеизложенного следует, что движения сплошной среды, определяемые фуидамеитальиыми физическими законами сохранения массы, изменения количества движения, сохранения энергии, описываются