Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ГЛАВА VIII

Соотношения

(pyx, у) = const, у/{х, у) = const

представляют собой, соответственно, уравнения семейств эквипотенциалей и линий тока. Из формул (8.2) и (8.6) имеем

„ „ дсрдш дсрдш

Ъх Ъх ду ду

то есть векторы W(p и Уу/ взаимно перпендикулярны. Следовательно, линии тока и эквипотенциали образуют семейство взаимно ортогональных

линии.

Дифференцируя комплексный потенциал (8.7) и учитывая формулы (8.2) и (8.7), получим

dW д(р .ду/

+1

2 , 2

(8.9)

откуда

V, arg

dW dz

(8.10)

где в - угол между направлением скорости и осью Ох.

Таким образом, модуль производной комплексного потенциала равен величине скорости, а аргумент - аргументу скорости, взятому с обратным знаком. Иначе говоря, производная комплексного потенциала есть величина, комплексно-сопряженная скорости течения (рис. 8.2).

Итак, для плоскопараллельного потенциаль-

ного течения можно построить комплексный потенциал, представляющий собой аналитическую функцию. Обратно, всякой аналитической функции соответствует некоторое плоскопараллельное потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости. Поэтому для исследования таких течений может быть ис-

Рис. 8.2

пользован весь аппарат теории аналитических функции.

§2. Примеры плоскопараллельных потенциальных течений

Рассмотрим простейшие аналитические функции комплексного переменного и соответствуюш;ие им течения.

1. W{z) = (а + ib\z = (а + ib\{x + iy) = + iy/, а > О, b > 0.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Из равенств (8.8), (8.9) и (8.10) имеем

(р = ах-Ъу, ш = Ъх+ау,

dW dz

a + ib = ve

dW b arg-= arctg-

1инии тока у/ = const и эквипотенциали <р = const образуют семейство взаимно ортогональных прямых. Комплексный потенциал W описы-

вает поступательное движение со скоростью, направленной под углом в = - arctg - коси Ох (рис. 8.3).

2. W(2) =

В этом случае

(х + iyf = (p + iy/.

= х -у.

у/ = 2ху, = 20 = 2(х + iy) = ve

dW у arg-= arctg -

-в, V

2л/х +у.

dz X

1инии тока у/ = const - равносторонние гиперболы с асимптотами х = О, [/= О; эквипотенциали - равносторонние гиперболы с асимпто-

тами у = X и у

X. В начале координат пересекаются линии тока х = О

и [/ = О, то есть начало координат - особая точка, в которой и = О.

Так как при течении идеальной жидкости линии тока можно заменить твердыми стенками, то комплексный потенциал можно трактовать как обтекание прямого угла (рис. 8.4).

const

const

const

const

Рис. 8.3

Рис. 8.4

ГЛАВА VIII

3. W(2) = , где n - любое вещественное число. По формуле Муавра

jnina na + isinna),

откуда

(р = г COS па, у/ = г sm па,

dW dz

const

const

Пусть у/ = sin па = О. Так как

г О, то а

, где k - целое

число, и линии тока представляют собой прямые, проходящие через начало координат, которое является особой точкой. При у/ = const О

получим линии тока внутри угла а. Это течение (рис. 8.5) можно толко-

Рис. 8.5

вать как обтекание угла а

. Ри-

сунок 8.5 соответствует слу чаю тг = 3.

Течение, соответствующее функции W{z) = z можно рассматривать

для любых п> -, Если рассматривается течение во всей плоскости, то.

очевидно, должно выполняться условие

271. в противном случае

внутри жидкости окажутся точки, в которых скорость многозначна, чего физически быть не может. Такие точки могут существовать только на границе области.

Рассмотрим случай п = -. Тогда

2 dW dz

2Jz 2л/г

На оси Ох в точке Pj (рис. 8.6) а = О, в = О, v

2л/г

то есть ско-

рость направлена по оси Ох. При г О v о°, при г оо у О. В точке Р2 а = 27Г, в = тг и скорость направлена вдоль оси Ох, но в противоположную сторону. Вдоль оси скорость терпит разрыв - ее модуль со-