Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

U(x,s) =

и(х, t)e~4t

sUix, s) - и{х,о) =

dU dx

Эи{х, t

Эи{х, t]

(13.46)

где uyxfij - начальное условие для функции и[х, t), s - комплексный параметр, причем Res > 0. При этом предполагается, что интегралы в формулах (13.46) существуют, операции иитегрироваиия и дифференцирования по координате перестановочны и

\imu{x,t)e = О,

lim.-=0.

Переход от изображения к оригиналу выполняется при помощи формулы обращения

и{х, t) =

eU(x,s)ds,

(13.47)

причем прямая у - у + i=o проводится так, чтобы все особые точки изображения XJ{x, s) лежали слева от нее.

Рассмотрим примеиеиие иитегральиого преобразования Лапласа к решению системы линеаризированных уравиеиий (13.42). Предварительно сделаем следующее замечание. Пусть при t <() движение является установившимся. Тогда из уравиеиий (13.42) следует, что

= w[xSi) = const Ро = р{х,0) = р(0,0)- 2apWQX, где Wq, pQ - скорость и давление при установившемся движении. Положим

w{x,t) = + w*{x,t), p{x,t) = ро+ p*{x,t),

* *

где W , р - возмущения скорости и давления - их отклонения от стационарных значений. Легко видеть, что w*,p* удовлетворяют уравнениям (13.42). Так как всякое неустановившееся движение можно рассматривать как возникшее из установившегося, то начальные условия для возмущений имеют вид

t < О, ш*(д:,0)=0, р*(д:,0)=0, (0<д:<г). (13.48)

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать уравиеиия (13.42) при начальных условиях (13.48) и, опуская индекс *, под w{x,t\ p{x,t) будем пони-

мать возмущения скорости и давления. Очевидно, что при этом краевые условия также должны быть сформулированы для возмущений.

Применив иреобразоваиие Лапласа по переменной t к уравнениям (13.42), получим с учетом формул (13.46) и начальных условий (13.48)

dV{x,s]

dx dP{x,s)

p(x,s) = a

(13.49)

2a]V(x,s] = a

P(x, s) = p{x, t)e-dt, V{x, s) =

w(xA]e~dt

- изображения no Лапласу давления p[x, t) и скорости w[x, t). Общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (13.49) имеет вид

Р = Ае-

V{x,s]=-

Ае - Be

, (13.50)

Z{s) = рс

(13.51)

Полагая в формулах (13.50) последовательно д: = О и д: = , получим

P(0,s) = А + В, V{0,s) = - (А - в).

(13.52)

P(,s)= Ае +Ве-, V{l,s) = -ЛАе - Be

Исключая из равенств (13.52) постоянные интегрирования А и В, имеем P(0,s)ch/iZ - P{l,s)-V{0,s)Z{s)shM = О,

shM . .w, „ (13.53)

р(о,«;

V{0,s)chM- V{l,s) = 0.

Соотношения (13.53) представляют собой уравиеиия гидравлического четырехполюсника, связывающие между собой изображения давления и скорости по концам трубопровода. Подчеркнем особо, что вид соотиошеиий (13.53) ие зависит от граничных условий рассматриваемой задачи.

Для получения решения уравнений (13.42) в изображениях, или, что то же самое, решения уравнений (13.49), при произвольных граничных условиях необходимо определить константы и5. Из соотиошеиий (13.52) видно, что для этого достаточно знать любую пару величии P(0,s), F(0,s), P(,s), V{l,s). Из равенств (13.53) следует, что достаточно иметь еще два независимых соотношения относительно этих величии. Такие соотношения могут быть

получены из дополнительных условий, связывающих между собой значения давления, скорости и их производных по концам трубопровода.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением только линейных дополнительных условий. Так как, согласно уравнениям (13.42), производные по координате могут быть выражены через скорость н производные по времени, то любые линейные дополнительные условия для этих уравиеиий можно привести к виду

+ Д1Л t) Cf2ip(0, t) -f

dp(l, t)

Эр(0, t)

dp{k t)

a,.jW[(X t]

cfjjUO, t]

dw{0, t) dt dw{l t)

dt dw{0, t) dt dw(l t)

(p{t)

wit]

(13.54)

где a, Д, (p,W - известные функции времени. Полагая в условиях (13.54)

й = Д = 0, 7=1,2,3,4,

получим общий вид линейной краевой задачи, а ирнинмая

= Д = О или а, = = О, / = 1, 2,3, 4,

получим общий вид линейной задачи Коши при д: = О или х = I, соответ-ственио.

Далее будем рассматривать только стационарные дополнительные условия, то есть будем считать коэффициенты арц константами. Применяя к условиям (13.54) преобразование Лапласа по времени, с учетом начальных условий (13.48) получим

aiP(0, s) + ДР(г, s) + aV{0, s) + (3V{U s) = Ф{8) йР(0, s) + ДР(г, s) + a,V((), s) + I3,V(1, s) = "¥(8)

(13.55)

A = Al A = Аз A = Al A = Аз

- A4«.

(13.55)

d,s)= (p{t)e-dt, J{s)= y/{t)e-4t