Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Так как выражение зФ{з)-(р{+0) представляет собой изображение

функции то в соответствии с теоремой о свертке и формулами (13.62), dt

(13.63), (13.64) имеем: случай А

p{xj) = J 9{{e)N-,{l-xJ-e)-pci/2{e)N2{xJ-e) de +

w[x,t) = J

-(p{+0)N-,{l-xj)-pci 2{+0)N2{xj), -[{e)N{l-xJ-e) + t/2{e)N{xJ-e)

2-(+0)Жз(г-д:,) + 2(+0)1(д.*);

рс случай В

p{xj)= 1[ф[{в)Щ{1-ха-в) + ф2{в)Щ{ха-в)] de

wixj) =

-(p{+0)N{l-xj) + (p2{+0)N{xj), t

j\(p[{e)N{l-xj-e)-(p2{e)N(xj-e)] de

A,{+0)N,{l-xj)-2{+0)Mi]

pc случай С

p{x,t) = pc b/i{0)N{I- x,t- в)-у4{e)N{x,t-e)\de

+ pc [щ {+ 0)N, {I -x,t)- Щ (+ 0)7V, (x, t)\

w[x,t) =

[y4(e)N(l -x,t-e) + y4(e)N(x,t - e)]de

+ щ (+ 0)4 (l -x,t) + Щ (+ 6)N (x, t\ где в соответствии с формулой обращения (13.47)

2м ,

Ц(у,8УЧ8, i = 1, 2, 6.

(13.66)

(13.67)

(13.68)

(13.69)

(13.70)

соответствующнмн кор-(13.71)

Функции Fj, Fj обладают простыми полюсами соответствующими корням уравиеиия

chM = cosiM = о, а функции F, F, Fq - простыми полюсами s иям уравиеиия

shM = -i sin iM = О

Кроме того, функции F,, Fj, F обладают простым полюсом Sq = 0. функция F - простыми полюсами Sq = о и 4"" = -2а, функция F - полюсом Sq = о второго порядка.

Из уравнений (13.70) и (13.71) и первой формулы (13.51) следует, что простые полюса s„ и определяются по формулам

s„ = -а ± s = -a± iy, п = \,2, 3, ... , т = 1, 2, 3, ... ,

TZZ, ~ (13.72)

Тт ~

П- \ Ж

2 I

то есть каждому п и каждому т соответствуют два полюса.

Все корни s„ и отвечают условиям Re s„ < О, Re < О и, следовательно, в формуле (13.69) можно положить у = 0.

Для замыкания контура интегрирования в формуле (13.69) рассмотрим при вычислении функций N,, Nj, Nj последовательность дуг радиуса

а нрн вычислении N, N, - радиуса

же 2т -1

с центрами в начале координат и лежащих слева от мнимой оси комплексной плоскости S. Из формул (13.72) вндио, что ни одни из полюсов s„ не лежит на дугах радиуса R„ и ни один из полюсов ие лежит иа дугах радиуса R„. Покажем, что иа дуге радиуса R„ нрн тг величина

. ch Лх А =

ограничена. На дуге радиуса R„ Тогда, в соответствии с формулой (13.51), значение на этой дуге будет равно

- < 2

откуда после элементарных преобразований имеем

ос =

1 + 4

" совб+ 2cos 6*-1 + 2-совб

1 + 4-

cos - 2 cos

(13.73)

Из первой формулы (13.73) видно, что при тг н, следовательно, R„ о= имеем < +<».

Так как

Jl+x) , „Ajl-x)

,2 V

sh ax + cos Дд: sh or„ + cos 0j

TO HpH Re2„ = cf„ ±o= AO. При x = A = l. При Cf„ конечном A - конечная величина. Условие Cf„ = О выполняется, как это видно

из формулы (13.73), только при cos = -

При этом А = ±

и cos PJ. = cos лтг = 1, то есть Айв этом случае - конечная величина. Аиалогичио можно показать, что на дугах радиуса R„ при тг величина

shXx

а иа дугах радиуса R при ттг величины

shAx

chAx

ограничены. Из доказанного следует, как это видно из формул (13.65), что при R„ о= величины F, Fj, Fj равномерно стремятся к нулю, а при

R о= равномерно стремятся к нулю величины F, F, F . Теперь,

в соответствии с леммой Жордана, для t > О интеграл (13.69) иа основании интегральной теоремы Коши можно представить в виде

ЛУО = §Щ (у«) =Ynes[F (у,s)