Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Э Re Э?}

Л. Прандтль предположил, что в пограничном слое отношение сил инерции к силам треиия есть величина порядка 1, то есть

Re -ly. (14.9)

Соотиошеиие (14.9) позволяет дать оценку толщины пограничного слоя в виде

Рассмотрим следующий пример. Пусть характерный размер обтекаемого тела L = 1м, характерная скорость потока = 1 м/с, а динамический

коэффициент вязкости р. =10" (вода, 20°С), плотность р =10.

м с м

Тогда

Re =

и в соответствии с формулой (14.10)

= 10"

или S ~1 мм. В этом топком слое и происходит изменение скорости от нуля до ее значения во виешием течении.

Возникает вопрос о характере течения в пограничном слое при таких значениях числа Re. Как показывают наблюдения, течение вдоль пластины остается ламинарным при Re = " < (з 10 10

Пренебрегая в уравиеииях (14.6), (14.7), (14.8) малыми членами и учитывая при этом формулу (14.9), получаем

Эи Эи Эи Эр 1 Эи

- + и-+ V-= -- +---,

3t Э Э/7 Э ПеЭ?}

= 0, + = 0. Э?] Э Эг1

Уравиеиия (14.11) представляют собой уравиеиия Л.Прандтля для пограничного слоя, записанные в безразмерном виде. Возвращаясь в уравие-

инерции к силам треиия можно представить в виде

Эи 1 Эи

инях (14.11) к размерным величинам, имеем

dv dv dv 1 Эр и dV

-- +-- + Vy -- =---i- + -,

dt dx dy p dx p dy

У И и у (14.12)

= 0, . = 0. dy dx dy

Из этих уравнений видно, что давление в поперечном иаиравлеиии иограиичиого слоя можно считать постоянным и равным тому давлению, которое существует иа его внешней границе. Течение, внешнее по отношению к пограничному слою, как уже указывалось, может быть описано с помощью модели идеальной жидкости.

Как бьшо показано, иа внешней границе иограиичиого слоя v ~ S

или V ~S. Производная из-за пренебрежения вязкостью во

" L ду

внешнем сечении иа этой границе также мала, и продольная скорость v переходит в скорость внешнего течения U{x,t). Поэтому иа границе иограиичиого слоя уравиеиие движения можно записать в виде

dt dx р dx

В случае установившегося движения из уравиеиия (14.13) имеем

p + f/ = const. (14.14)

граничные условия для внешнего течения благодаря малости толщины иограиичиого слоя и тому, что Vy ~ , можно принять такими же,

как при иеиосредствеииом обтекании тела идеальной жидкостью. Иначе говоря, для расчета внешнего потока можно рассматривать обтекание тела идеальной жидкостью, пренебрегая при этом толщиной иограиичиого слоя.

Итак, система уравнений (14.12) сводится к

dVy dVy dVy 1 Эр и dVy

-- + V-- + Vy -- =---i- + -,

Э Эд: dy p dx p dy

(14.15)

Эд: dy

где p = p{x,t) следует рассматривать как известную функцию. В случае установившегося движения оно может быть оиределеио из равеиства (14.14). Уравиеиия (14.15) называются уравнениями Праидтля для иограиичиого слоя.

1АМИНАРНЫИ пограничный СЛОИ

Граничные условия для системы уравнений (14Л5) имеют вид

о при г/ = О, = и(х, t) при у

> ОО .

Последнее условие надо понимать в том смысле, что асимптотически стремится к функции [/(х, t) , которая считается наперед заданной.

С помощью формулы (14.10) можно получить лишь оценку порядка величины толщины пограничного слоя. Так как в действительности грани-

ца между пограничным слоем и внешним течением достаточно условна, то для ее уточнения используются различные критерии. Наиболее простым из

них является условие того, что скорость на внешней границе пограничного слоя равна 99% от скорости внешнего течения.

§2. Задача Блазиуса

Для иллюстрации применения уравпе-ний пограничного слоя (14.15) рассмотрим обтекание тонкой неподвижной пластинки (рис. 14.2). Начало координат совместим с началом пластинки, а ось Ох направим вдоль нее параллельно скорости набегаю-

щего потока. Длину пластинки будем считать бесконечной, а течение - стационарным. Скорость набегающего потока примем равной Uq. Сформулированная таким

образом задача называется задачей Блазиу-

6 г\[х

Рис. 14.2

Так как скорость внешнего течения по условию постоянна, то

и уравнения (14.15) принимают вид

Ъи Эи

и - + V

ди dv

- + - = О,

Эх ду

(14.16)

Граничные условия для уравнений (14.16) имеют вид

W = и = О при у = О, и = Uq при у ОО

(14.17)