Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

§3. Уравнение неразрывности (закон сохранения массы)

Уравнение неразрывности представляет собой дифференциальную форму закона сохранения массы сплошной среды. Полагая в равенстве (2.23) (р - р Vi используя условие постоянства массы жидкого объема

(2.8), получим

V{t)

dp dt

+ pdlYV

dV = 0.

(2.24)

Так как это равенство справедливо для произвольного жидкого объема, то подынтегральное выражение в соотношении (2.24) равно нулю, то есть

dp dt

+ pdivv = 0.

(2.25)

Уравнение (2.25) называется уравнением неразрывности. Очевидно, что если вместо (2.23) использовать (2.22), то уравнение неразрывности

можно представить в виде

+ div pv = 0.

(2.26)

Для получения уравнения неразрывности для трубки тока воспользуемся соотношениями (2.8) и (2.20), положив в последнем ср = р. При этом получим

V(t)

dV + \pVndS = 0.

(2.27)

Соотношение (2.27) называется уравнением неразрывности в инте-

Тральной форме.

Рис. 2.3

Применим соотношение (2.27) к течению жидкости по трубке тока. Проведем живые сечения aS и S2

(рис. 2.3). Контрольная поверхность S будет состоять из трех частей: живых сечений vi S2, через которые

жидкость втекает и вытекает из рассматриваемого участка трубки тока, и ее боковой поверхности а§з .

В точках боковой поверхности А§з, по определению трубки тока,

= О, и соотношение (2.27) принима-

ет вид

dV + pvdS + pVndS = 0.

(2.28)

Если dlV V = О , то так как dlV V = -, то это условие будет равно справедливо как в слу-

ае i? = 1?(х,),таживслучае V = v{x.,t).

Так как в (2.28) берется внешняя нормаль, то в сеченнн S2, но онреде-ленню живого сечення, у„ = У, а в сеченнн S[ у„ = -у, н соотношение (2.28) принимает вид

-dV= \pvdS- \pvdS. (2.29)

при установившемся движении - = О, и из уравнения (2.29) имеем

jpvdS = jpvdS = Qm = const. (2.30)

Si S2

Величина = jpvdS представляет собой массу жидкости, ирохо-

дящей через живое сечение в единицу времени, и называется массовым расходом. Таким образом, соотношение (2.30) показывает, что при установившемся течении массовый расход вдоль трубки тока постоянен.

Для элементарной трубки тока соотношение (2.30) принимает вид

piViSi = P2V2S2 = const. (2.31)

Жидкость называется несжимаемой, если плотность любой ее частицы

есть величина постоянная, то есть если = 0. Из уравнения (2.25) для

несжимаемой жидкости получается div v = О . Тогда в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского

jdivvdV = jvdS = 0. (2.32)

Повторяя рассуждения, аналогичные иредьщущим, из (2.32) получим, что для трубки тока несжимаемой жидкости

jvdS = jvdS = Q (t). (2.33)

Величина Q = jv dS представляет собой объем жидкости, ироходя-

щей через живое сечение в единицу времени, и называется расходом. Следовательно, соотношение (2.33) показывает, что при течении несжимаемой жидкости но трубке тока расход во всех ее живых сечениях будет в данный

момент времени одним и тем же вие зависимости от того, является течение установившимся или нет.

В случае элементарной трубки тока соотношение (2.33) ирнинмает вид

уА=У232, (2.34)

откуда видно, что чем меньше площадь живого сечения, тем больше скорость течения и наоборот.

§4. Уравнения движения в напряжениях

В формулировку закона изменения количества движения (2.10) входят величина pv, представляющая собой количество движения еднннцы объема, н напряжение поверхиостных сил р„ . Поэтому для вывода уравнений движения в напряжениях положим в соотношении (2.23) (р = pv н получим

jpvdV= I + pv div V

dV =

p + v dt

+ pdivvWdV = \pdV, dt }/ dt

(2.35)

так как в соответствии с уравнением неразрывностн (2.25) выражение в круглых скобках равно нулю. Подставив соотношение (2.35) в уравиеиие закона изменения количества движения (2.10), получим

(2.36)

где по формуле (1.29)

Pn=PiC(,i- (2.37)

Положим в теореме Гаусса-Остроградского (2.21) % = Oj = О. Тогда

aiCt„i(/S= fdV. (2.38)

Проводя аналогичные рассуждения для компонеит aj н Oj, получим

jacfni dS = I-dV.

Из формул (2.37) и (2.39) следует, что

\pndS= \pta,tdS= \dV.

S S V

(2.39)

(2.40)