Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

направлена

Так как скорость, вызванная циркуляцией в = а + -

V 2)

против часовой стрелки, то в верхней полуплоскости

y = -2Fsincf--, {а < ж), (8-14)

а в нижней -

y = 2Fsincf+-, (сож), (8.15)

При безциркуляциоииом обтекании скорость в точках А{а = о) и В{а = ж) равна нулю, и эти точки - особые. При Т ф О скорость в этих точках отлична от нуля. Максимальное значение модуля скорости, как это видно из формул (8.14) и (8.15), достигается в точке D и равно

Положение критических точек М н N, как это следует из формулы (8.14), определяется из условия

2V sin а* =- или sin а* =--, sin а* > -1. (8.16)

2жК ЛжУЯ

При Г = ЛжУЯ точки М н N сливаются с точкой С. При дальнейшем росте Г критическая точка сходит с окружности.

Интеграл Коши-Лаграижа (7.65) при потенциальном течении несжимаемой жидкости имеет вид

-n + i?4/W. (8.17)

dt Р 2

Если Г = r(t), то, как это следует из формулы (8.12), в уравиеиие (8.17)

войдет член . Следовательно, при Г = T(t) давление перестает быть

2ж dt

однозначной функцией координат (г, а), что физически невозможно. Поэтому нотенциальное обтекание возможно только при Г = const.

При V = const = О и давление в потоке вычисляется через его

скорость и условия иа бесконечности (или любые другие условия, позволяющие определить константу в интеграле Бернулли). Из формул (8.14) и (8.15) видно, что скорости над цилиндром больше, чем иод ним. Поэтому давление над цилиндром меньше, чем под ним. Благодаря этому нрн цир-

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

куляционном обтекании цилиндра возникает подъемная сила. Сопротивление отсутствует, так как поток симметричен относительно оси Оу.

Таким образом, при циркуляционном обтекании цилиндра модель иде-

альной жидкости позволяет вычислить подъемную силу (и не только ци линдра), причем, как показывает эксперимент, с достаточно высокой сте

пенью точности.

§3. Конформное отображение потоков

Рассмотрим функцию комплексного переменного = F{z). С помо-

щью этой функции каждой точке в комплексной плоскости z ставится в соответствие точка в комплексной плоскости . Поэтому функцию = F{z)

можно рассматривать как отображение некоторой области D в плоскости Z на некоторую область Д в плоскости (рис. 8.10).

const

Рис. 8.10

Отображение, при котором сохраняются углы между кривыми в точках их пересечения и бесконечно малые элементы преобразуются подобным образом, называется конформным. Для того, чтобы функция F{z)

реализовала конформное отображение области D, необходимо и достаточно, чтобы она была взаимно однозначной, аналитической и чтобы в области D производная F(z) была отличной от нуля и бесконечности. Важное значение конформных отображений в гидромеханике определяется тем, что если известны комплексные потенциалы каких-либо простейших течений, то можно с помощью этих отображений строить комплексные потенциалы более сложных течений.

Пусть в плоскости Z задано течение с комплексным потенциалом W =

= W(z) Так как при конформном отображении функция = + i?] = F{z) должна быть взаимно однозначной, то всегда можно найти функцию

z = f{). Тогда

W(z) = (p(x, у) + i Их, у) = W{f{)) = ж* () = (1, n) + i Wil л) (8.18)

Из равенства (8.18) сразу следует, что нрн (х, г/) = const имеем = (р{. Г}) = const н нрн у/[х, у) = const y/[, ?}) = const. Таким образом, эквипотенциали и линии тока в плоскости z переходят, соответственно, в эквипотенциали и линии тока в плоскости (рис. 8.10).

Рассмотрим выражение

%x-iVy\dx+idy) =

W(z)

dz =

vdx+v dy + i

vdy-v dx. (8.1

В соответствии с формулами (3.39), (8.3), (8.5) и (8.6) имеем

vjx + vdy =

dq) = Г,

vdy - V dx = Q,

TO есть действительная часть интеграла (8.19) представляет собой циркуляцию скорости вдоль кривой, а мнимая - расход жидкости через эту кривую и

W z) =

dz = Г + iQ.

.20)

Выполняя в формуле (8.19) замену неременных z = f{), имеем

W{z)=W[f{C)]

CdW d

dz =

d = T + iQ.

(8.21)

d dz

Из формул (8.20) и (8.21) видно, что циркуляция скорости вдоль какой-либо линии в плоскости Z и вдоль соответствующей линии в плоскости совпадают. Это же справедливо и для расхода жидкости через соответствующие линии.

Установим связь между скоростями потоков в соответствующих точках плоскостей г и .

Воспользовавшись формулой (8.9), имеем

t, dW d{ dW . d dz d

(8.22)

где v,e - модуль и аргумент скорости в плоскости z. Так как

у, = V,

riz)

= er-argF{z)

(8.23)