Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 [ 173 ] 174 175 176 177

формулы (П.81) следует, что в этом случае ап., = SjTi = Хщ, любое направление и любой вектор являются собственным для тензора.

Некоторые дифференциальные онерацнн

Рассмотрим вектор а = ё,а,. В соответствии с формулой (П.4)

да, да, ,

ds Эх,

-coslx., SI,

ТО есть производная вектора по направлению определяется девятью выра-

жеииями вида --.

Переходя от системы координат OxiXx к системе Оххх, в соответствии с формулами (П.59) имеем

да да. да. дх да,

-1- = а,, -= а,, ---- = а,,а,.

Эх; Эх;

Следовательно, совокупность величии

Эх Эх; да,

образует теизор второго ранга.

Дивергенция тензора А = [а, по определению равна

. да, да,, div А = -- = е,

дх, дх, В соответствии с формулой (П.22)

dV =

d,a,,dS =

e,a,,a„dS.

(П.88) (П.89)

С другой стороны, как это следует из соотиошеиия (П.72),

пА = ёп,а, = ёаа, . (П.9

Подставив в соотиошеиие (П.89) равеиства (П.85) и (П.90), получим

div AdV =

nAdS.

Пусть компоненты a,j тензора А представляют собой функции скалярного аргуметга t. Тогда величины

да,,

образуют, очевидно, теизор

Компоненты симметричного тензора в цилиндрической и сферической системах координат

Рассмотрим симметричный теизор с компоиеитами

да: да,

\dxj

(П.91)

1 да г dip

г dip дг 1 да

В цилиндрической системе координат Onpz (рис. П.6) комиоиенты этого тензора равны

, 1 f 1 Эа, да а

К = -, ь =1

2[dz \(да.

Кг = -

г дд>

да;\

dz у

В сферической системе координат OrBip компоиеиты тензора (П.91)

имеют вид

дг 1 да г д9 1

1 да, да.

I- - г

да..

rsin dip

а. а,

2 1 2

1 fda

г дв Эг" г ,

1 да, I да , rsinB dip г дв 1 да г rsin dip г

-ctge

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в криволинейных системах координат

В соответствии с формулами (4.41), (7.8), (7.12) уравиеиия движеиия вязкой несжимаемой жидкости при изотермическом режиме течения можно представить в виде

div V = О,

V - -vxrotv 2

= pF -Vp + fiAu.

(П. 92)

Так как

Да = V div а - rot rot а, то для несжимаемой жидкости имеем

Да = - rot rot а.

и уравиеиия (П.92) можно представить в виде

div V = О,

- + V--УХ rot у

dt 2

= pF - Vp - fl rot rot u.

(П.93) (П.94)

Подставив в уравиеиие (П.93) вторую формулу (П.51), получим уравиеиие иеразрывиости в цилиндрической системе координат в виде

divi? =

+ =0. (П95)

г)г г г)(р Эг г

Выражения для проекций rot rot Й иа координатные оси в соответствии с третьей формулой (П.52) равны

(rotrotyjr = - г

г г dtp

Эг Эг

(rotroty).. =

1 ди„

г dip Эг

г, 1 ду г г dip

(П. 96)

(rotroty) = - г

1 du„

dipyr dip dz

Вычтгая из соответствующих равенств (П.96) выражения -divi?,

--divi?, -divi?, получим

г dq) dz

(rotroti?) = -

(rotroti?] (rotroti?)

-Ду, .

(П. 97)

г дг

Спроектировав уравиеиие (П.94) иа координатные оси и подставив в эти проекции равеиства (П.97), с учетом формул (П.52) получим

ю. dv dv.

dv„. v,v

= pF,

Av. -

2 <u„ V.

IV, dv, v dv, V. + -

dz dv.

= -7э

= pf, - + mAv

Av,.

2 dv. v,

(П.98)