Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Подставив соотиошеиие (2.40) в (2.36), получим

\[p--pF-dV = (), (2.41)

а так как это соотиошеиие справедливо для произвольного материального объема, то иодынтегральное выражение в нем равно нулю, то есть

dv ~ dpi p- = pF + f, (2.42)

dt dXi

или в координатной форме

dVj Эра

р=рЩ+. (2.43)

dt dXi

уравнения (2.42) и (2.43) называются уравнениями движения сплошной среды в наиряженнях и выражают собой закон изменения количества движения.

Закон изменения количества движения для трубки тока можно получить с помощью соотношений (2.10) и (2.20), положив в последнем = pv. Из них следует, что

Э(ру) руу(/5;= pFdV+ \pndS. (2.44)

г S V S

Соотиошеиие (2.44) представляет собой уравнение закона изменения количества движения в интегральной форме.

В качестве иоверхиости S возьмем замкнутую поверхность, состоящую из живых сечений трубки тока S[, S2 и ее боковой иоверхиости Sj (рис. 2.4). Повторяя рассуждения, ириведенные нрн выводе соотношений (2.28) и (2.29), из уравнения (2.44) получим

iPEldV- \pvvdS+ \pvvdS= \pFdV+ \pndS. (2.45)

г Si S2 V s

Массовую силу, действующую иа выделенный объем V трубки тока, обозначим через G:

jpFdV = G, (2.46)

а равнодействующую иоверхиостиых сил, действующих со стороны жидкости в сечениях Si и , через Р :

\PndS = P. (2.47)

S1+S2

Для онределения сил, действующих иа поверхность S3 (в частности, поверхность S3 может бьпгь твердой стенкой), воспользуемся разложенн-

ем (1.26). Обозначим

N= \np,ndS, f= (2.48)

s3 s3

где N - равнодействующая нормальных, а Т - тангенциальных сил, приложенных к поверхности S3.

Подставив выражения (2.46), (2.47) и (2.48) в уравиеиие (2.45), получим математическое выражение закона изменения количества движения для трубки тока в виде

idV+ \pvvdS- \pvvdS = G + Р + N + f. (2.49)

V S2 Si

при установившемся движении = О, и формула (2.49) ирнин-

мает вид

jpvv dS - jpvv dS = G + P + N + f. (2.50)

S2 Si

Используя теорему о среднем значении в интегральном нсчисленни, имеем

jpvv dS = vP jpv dS = vPQ, s s

где у - среднее интегральное значение вектора скорости в сечении S. Так как прн установившемся движении = const, то равенство (2.50) можно представить в виде

Qmivi" - у;"") = G + P + N + (2.51)

где vlp\ vP - средине значения скорости течения в сечениях Si и Sj, соответственно. Подчеркнем особо, что соотношения (2.44), (2.45), (2.49), (2.50), (2.51) представляют собой векторные уравнения. Поэтому изменение количества движения может происходить ие только при изменении величины скорости, но и прн нзмененнн ее направлеиня.

Соотношение (2.51) оказывается удобным для решения ряда практических задач. Соответствующие примеры приведены в главе VII.

§5. Закон изменения момента количества движения. Закон парности касательных папряжепий

Соотношение (2.11), представляющее собой закон изменения момента количества движения, содержит величину г х pv . Подставив в соотиоше-

нне (2.23) выражение (р = fx pv, получим

(f x pv)dV = I

V fl

[f x py) + (f x pv) div У

dv 4

x + r x у - + rx p - + [rx pv) div у

x + (r x у

( ? dt

pdiv V

rx p

dV = dv = (2.52)

dV. dr

Используя уравиеиие иеразрывиости (2.25) и учитывая, что - = У и,

следовательно, -х pv = () соотиошеиие (2.52) можно иривести к виду

- \{rxpv)dV= \rxp - dV. dtf j dt

Из формул (2.37) и (2.39) следует, что

(2.53)

\г X p,dS = \{f X pai )dS = ltrfl

S S V -i

Подставив соотношения (2.53) и (2.54) в уравиеиие (2.11), имеем

(2.54)

dv ~ dirx р,

гх р - - г x pF - -i--

dt dXi

dV = 0,

(2.55)

a так как соотиошеиие (2.53) справедливо для произвольного объема, то подынтегральное выражение должно быть равным нулю, то есть

dv ~ dirxp

rx р- = rx р F + ---

dt dXi

(2.56)

Соотиошеиие (2.56) представляет собой уравиеиие изменения момента количества движения.

Из этого уравнения вытекает одно весьма важное следствие. Действительно, умножим уравиеиие движения (2.42) векторио иа радиус-вектор г и получим

dv ~ Эр

гхр- = гхр F + ГХ dt дх,-

Вычитая (2.57) из (2.56), имеем

Эх,-

Эх,- Эх,-

(2.57)

(2.58)