Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Рис. 8.17

Рис. 8.18

Так как

р = р

dW dW dz dz

pdW dW 2 dz dz

(8.28)

Ha элемент контура dz действует элементарная сила с проекциями

-р dy, dY = pdx

(обход контура С происходит против часовой стрелки, а давление направлено внутрь контура). Тогда с учетом формулы (8.28) будем иметь

dX - idY = -ip {dx - idy)

-ipdz

p dW dW 2 dz dz

dz. (8.29)

Интегрируя соотношение (8.29) по замкнутому контуру С, получим

X-iY

CdW dW

dz dz

(8.30)

Для преобразования формулы (8.30) заметим, что

dz = v-dx + Vydy + i (vydx - vdy),

dz = vdx + V dy - i (v dx - vdy).

Обтекаемый контур С представляет собой линию тока, а вдоль линии

тока, как известно, vdy - v dx = О. Поэтому вдоль контура С

dW dW dz =-dz,

(8.31)

и формулу (8.30) можно нредставнть в виде

X - iY = i

(8.32)

Выражение (8.32) представляет собой первую формулу Чаплыгина . Элементарный момент силы относительно начала координат (рис. 8.18) дается выражением

(/М = X(/Y - г/(/Х = Rei3 ((/X - idx),

откуда с учетом равеиства (8.29) и (8.31) после интегрирования но замкнутому контуру С получаем вторую формулу Чаплыгина

и = -Re 2

(8.33)

Для вычисления интегралов в формулах (8.32) и (8.33) заметим, что

функция вблизи бесконечно удаленной точки представляет собой од-

позначную аналитическую функцию. Поэтому оиа может быть разложена в ряд Лорана, а так как при г = оиа имеет конечное значение, то это разложение имеет вид

dz Z Z

Полагая в формуле (8.34) г = <», получим

(8.34)

с другой стороны, в соответствии с формулой (8.

где - модуль скорости потока в бесконечности, следовательно.

(8.35)

Так как в соответствии с теоремой о вычетах интегралы но замкнутому контуру равны

= 2т,

= О, тг > 1.

Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869-1942), одни из основоположников аэромеханики. Действительный член АН СССР.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

то из формул (8.34) и (8.20) имеем CdW

dz = 2тС, = Г + iQ

Расход несжимаемой жидкости через замкнутый контур при отсутствии источников равен нулю, и, следовательно,

(8.36)

Возводя равенство (8.34) в квадрат, получим

CqC,

с/ + 2С,С

или, учитывая формулы (8.35) и (8.36),

Ке"

2/ 2 Z

.(8.37)

Подставив выражение (8.37) в формулу (8.32), после иитегрироваиия по замкнутому контуру С имеем

X-iY = ipTVe-\

X + iY = -ipTV/ = -pTVe . (8.38)

Равенство (8.38) выражает собой теорему Жуковского: равнодействующая сил давления равна произведению плотности р, циркуляции Г и скорости набегающего потока и направлена под прямым углом к этой скорости. Поэтому величина

Р = Х + iY = pTV (8.39)

называется подъемной силой.

При безотрывном обтекании циркуляция в формулах (8.38) и (8.39) определяется из соотиошеиия (8.27).

Подставив ряд (8.37) в формулу (8.33), после соответствующих преобразований получаем

М = 2ж/7Ке(Ю2е"), (8.40)

то есть получаем формулу для определения момента подъемной силы относительно начала координат.