Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ГЛАВА IV

в тензорной форме в матричной форме

(4.3)

где Sij - дельта Кроиекера. Тензор напряжений в идеальной жидкости часто называют шаровым или изотропным, так как соответствующая ему тензорная поверхность, как легко видеть, иредставляет собой сферу, а физические свойства, задаваемые подобными тензорами, изотропны.

В уравиеиия (2.83) входят величины dpjdxi ,d{piv)/d х. На основании равенств (4.1) и (4.3) имеем

dpi дёгр

d{eipekVk\

= -е.

Эр dXi

(4.4)

{pvk.

= - div pv = -pdivи - vVp. (4.5) dXf dXf dXk

Подставив соотношения (4.4), (4.5) в уравиеиия (2.83), получаем модель идеальной жидкости dp

р div и = О,

(4.6)

= pFv - div pv + pq

где первое уравиеиие - уравиеиие иеразрывиости, второе - уравнение движения Эйлера, а третье иредставляет собой закон сохранения энергии.

Система (4.6) содержит пять скалярных уравнений и шесть неизвестных (р, v, р, и). Для ее замыкания необходимо задать уравиеиие состояния

р= р{р,Т), (4.7)

связывающее между собой давление, температуру и плотность, и калорическое уравиеиие состояния

и = и{р,Т). (4.8)

Система (4.6), (4.7) и (4.8) содержит семь уравнений и семь неизвестных и иредставляет собой замкнутую систему уравнений, описывающих движения идеальной сжимаемой жидкости (газа).

р dt

= pFv - divpu + (4.9)

где в соответствии с определением идеальной жидкости и формулой (2.87) для мощности виутреииих сил /?7V* имеем

рЖ» = -Pi = = pdivu (4.10)

или, с учетом уравнения неразрывности (2.32),

рЖ» = pdivu = (4.11)

р dt

с учетом соотношений (4.10) и (4.11) уравиеиие притока тепла (2.88) может быть представлено в виде

du Р dp ..,

=5+4: (4.12) dt р dt

du р ,.,

- = - -divu. (4.13) dt р

Таким образом, как это видно из формул (4.12), (4.13), изменение внут-

реиией энергии идеальной жидкости может происходить только за счет внешнего подвода тепла и изменения ее плотности (объема).

§2. Математическая модель идеальной несжимаемой

жидкости

При установившемся течении жидкости и при неустановившихся движениях с нерезкими изменениями скоростей изменение ее плотности настолько мало, что им можно пренебречь. Это же относится к установившемуся течению газа с малыми скоростями или его течению с плавными изменениями скоростей. В этих случаях обычно используется модель несжимаемой жидкости.

Жидкость называется несжимаемой, если для фиксироваииой материальной частицы р = const или, в соответствии с определением материальной производной (1.14), если

= v = 0. (4.14)

dt dt Эх.-

Для получения теоремы об изменении кинетической энергии в идеальной жидкости подставим равенство (4.5) в соотношение (2.74). Тогда имеем

d fv"

= pFv-vVp, (4.17)

так как в соответствии с равенством (4.10) или (4.11) в рассматриваемом случае = 0.

Уравиеиие притока тепла (4.12) или (4.13) принимает вид

§ = (4.18)

Умножив второе уравиеиие (4.6) скалярио иа и и вычитая иолучеииое выражение из третьего уравиеиия (4.6), получим для идеальной несжимаемой жидкости

du dt

Жидкость называется несжимаемой и однородной, если значение илотиости постоянно и одинаково для всех материальных точек рассматриваемого объема жидкости. В этом случае, очевидно,

i=0. = 0. = 0. (4.15)

dt dt dXi

и плотность является ие искомой функцией, а известной величиной, задаваемой при постановке задачи.

Соотиошеиие (4.14) (или (4.15)) иредставляет собой уравиеиие состояния несжимаемой жидкости.

Вне зависимости от того, является ли несжимаемая жидкость однородной или иеодиородиой, для нее, как это следует из равенств (4.6), (4.14), (4.15), система уравнений движения имеет вид

div и = О,

dv (4.16)

р = pF-Vp. dt

В случае однородной несжимаемой жидкости система из четырех уравнений (4.16) содержит четыре неизвестных функции координат и времени {p,Vi) и, следовательно, является замкнутой. В случае иеодиородиой несжимаемой жидкости система (4.16) содержит пять неизвестных и для ее замыкания необходимо использовать уравиеиие (4.14).

Замкнутая система уравнений, описывающих движение несжимаемой жидкости, является чисто механической, то есть ие содержит никаких термодинамических характеристик.

Закон изменения кинетической энергии (4.9) для несжимаемой жидкости имеет вид