Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

§6. Параметры, определяющие класс явлеиий

Так как математическая зависимость величины а от величии ai, aj, в формуле (5.14) может иметь разный вид, то есть описывать различные физические процессы, то величины ai, aj, ... , называются параметрами, определяющими класс явлеиий. Параметр а называется определяемым.

В тех случаях, когда известна математическая модель физического процесса, таблица параметров, определяющих класс явлеиий, выписывается из уравнений, начальных и граничных условий, его определяющих, то есть выписывается совокупность размерных и безразмерных величии, задание которых необходимо и достаточно для решения задачи. Размерные константы также входят в число определяющих параметров.

Если математическая модель явления отсутствует, то таблица определяющих параметров может быть составлена иа основании общих качественных соображений и данных эксперимента (если таковые имеются).

Система параметров, определяющих класс явлеиий, должна обладать свойством полноты. Это значит, что она должна содержать параметры, через размерности которых могут быть выражены размерности определяемых параметров.

Так, нельзя утверждать, что сила F, действующая иа какое-либо тело со стороны жидкости, есть функция только ее илотиости р и скорости течения У, то есть, что F =j{p, v). В самом деле, равенство

Таким образом, при соблюдении подобия эксиеримеитальиое исследование какого-либо физического явления может быть заменено исследованием его модели, что в ряде случаев является весьма целесообразным или даже едииствеиио возможным.

Требование выполнения условий (5.20) показывает, какие значения параметров процесса должны быть подобраны при модельных исследованиях, то есть определяют характеристики модели, обеспечивающие соблюдение подобия.

Формула (5.22) дает правило пересчета результата модельных исследований а** иа натуру - а*.

ГЛАВА V

как легко видеть, не может иметь места ни при каких значениях С(Г и Д Однако можно утверждать, что F =J{l,p,v), где / - какая-либо величина, имеющая размерность длины. Действительно, в этом случае

и отсюда сразу получаем а= I, = 2, / = 2и F = pvl.

Аналогично, нельзя сказать, что касательное напряжение тесть функ-

ция плотности жидкости и градиента скорости, так как

М , , 1

В то же время можно утверждать, что T=f{p, /, Vr;), так как

§7. Примеры на применение П-теоремы

т mg

Рис. 5.1

1. Колебания математического маятника. Математический маятник представляет собой материальную точку мае-

сои т, которая подвешена на невесомой и нерастяжимои нити длиной /, неподвижно закрепленной в точке О (рис. 5.1). Уравнения плоских колебаний такого маятника при отсут-

ствии сопротивления, как известно, имеют вид

sm , m

d dt

I = N - mg cos (p

(5.23)

с начальными условиями

(P = (Po

dcp dt

0 при t = tg.

(5.24)

где - угол между нитью и вертикалью, - натяжение нити, д - ускорение силы тяжести. Из уравнения (5.23) и начальных условий (5.24) следует.

что система параметров, определяюп];их класс явлении, такова

(р„, т, I, g, t

и, следовательно,

(р = (р((Ро, т, I, g, t), N = N{(Po, т, I, g, t).

Примем в качестве параметров с независимыми размерностями величины т, д, 1. Тогда в соответствии с П-теоремой, то есть равенствами (5.16) и (5.18), будем иметь

П = (pinYlj), n=7V(nl,nJ,

П = (р,П, = ср,, = П = ... Щ = Hi, Щ = П, (5.25)

так как (р и (р - безразмерные величины, а аргументы у функций ср и N одинаковые.

Из формул (5.25) имеем

И = VmniYVgy, [TV] = {тГ\1\ЧёУ\

откуда, ириравиивая показатели степеней при М ,L, Т, получаем а = О, Д + 7 = О, - 27 = 1, Qi = 1, Д + 7i = 1, - 27i = -2,

или Q=0, Д = ,7=-,с1=1, Д = 0, 71=1 ,

\1 I mg

Следовательно,

N mg

Из опыта известно, что колебания математического маятника имеют период т Тогда

т= T{g)„m,l,g), или, после перехода к безразмерным величинам.

Так как из-за симметрии колебаний т{(ро) = т{- ), то функция т{(ро) -четная, и, разлагая ее в ряд, имеем