Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Выражения (13.53) н (13.56) образуют замкнутую систему четырех линейных алгебраических уравнений, из которых имеем

PO,s =

(13.57)

As) =

A,{s) =

(13.58)

ch/U

Ф{s] Ms]

Из первого равенства (13.52) с учетом формул (13.57) имеем A,(s)-Z(s)A,() A,(s)Z(s)A,()

2A{s} 2A{s}

Подставляя формулы (13.59) в равеиства (13.50), получим

P{x,s) = Шс\1Ях - ZishhZx.

(13.59)

Vix,s =-

A(s] Ais

A, (s) sh Ях

A{s) Z{s) A{s

""КЯх.

(13.60)

Переходя в соотношениях (13.60) от изображений P(x, s), V{x, s) к их оригиналам p{x,t\ w{x,t), получим искомое решение уравнений (13.42) нрн начальных (13.48) и дополнительных (13.54) условиях. Этот переход может быть выполнен либо с помощью таблиц соответствия, либо но формуле обращения (13.47). Помимо таблиц соответствия для преобразования Лапласа имеются обширные таблицы для преобразования Лапласа-Кар-сона.

Изображение по Лапласу функции f{t), то есть и ее изобра-

жение ио Лаиласу-Карсону /(t)J связаны между собой соотношением

K[f{t)] = sL[f{t)].

Эта формула позволяет находить оригинал f{t), если известно его изображение с помощью таблиц обращения для преобразования Лаиласа-Карсона. Рассмотрим некоторые примеры нспользовання формулы обращения (13.47).

§6. Примеры расчета нестационарных процессов в трубах

Расчет нестационарных процессов в трубопроводах различного назначения, в частности, расчет гидравлического удара, часто сводится к задачам, когда ио концам трубы заданы давление или скорость течения как функции времени.

Рассмотрим следующие случаи:

A. t>0, p{0,t) = (p{t), w{lt) = y/2{i)

B. t>0, p(0,t) = i(t), p{kt) = g>,{t),

C. t>0, w{0,t) = y/-,{t), w{lt) = y/2{i)

D. t>0, w{0,t) = y/{t), p{lt) = (p2{t).

Начальные условия во всех четырех случаях принимаются нулевыми, то есть определяются по формулам (13.48).

Очевидно, что случай D сводится к случаю А заменой у= 1-х, (t) = (Pi{t), ipiit) = -y/jit). В дальнейшем будем считать, что граничные функции (Piit), y/i{t) могут иметь разрывы при t = +0. Из формул (13.54), (13.56), (13.61) следует, что

в случае А = 1, Д = 1,

в случае В а, =1, Д = 1, в случае С =1, Д = 1.

Остальные Д во всех трех случаях равны нулю. Вычислив с помощью этих соотношений определители (13.58) из формул (13.60), получим:

P(x,s) =

8ф,{8)-<р,{+0)+ <p,{+0)]F,{l-x,s)-

(13.62)

У(х,8) = \8ф,(/)-,р,(+0)+,р,(+0)]Рз(1-Х,8) +

"s2(s)-2(+0) + 2(+0)l-fl(,s);

случай В

P(x,s) =

S2(s)-№(+0)+№(+0)]-4(.s).

У{х,в) = \вФ,{в)-<р,{щ<р,{щщ-х,в)-рс

8ф{8)-(р{щ + (р{+щ¥{х,8);

(13.63)

случай С

P(x,s) = /7C[s4i(s)-i(+0) + i(+0)]F6(-x,s)-V{x,s) = [s4>,(s)-y/,( + y/,(+Q)\F(l-x,s) +

;s42(s)-2(+0) + 2(+0)]-f4(,s)

Ф.. s =

{t)e-4t, = y/i{t)e-4t, i = 1,2,

F,{y,s)=, F,{y,s) = , F,{y,s) = , (13.65)

Прн выводе формул (13.65) было использовано вытекающее нз формул (13.51) соотношение

случай А